歐幾里德幾何

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更新時間: 2013-12-10

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歐幾里德幾何簡稱「歐氏幾何」。幾何之父歐幾里德幾何學的一門分科。公元前3世紀,古希臘數學家歐幾里德把人們公認的一些幾何知識作為定義和公理,在此基礎上研究圖形的性質,推導出一系列定理,組成演繹體系,寫出《幾何原本》,形成了歐氏幾何。

 

歐幾里德幾何幾何之父歐幾里德
在其公理體系中,最重要的是平行公理,由於對這一公理的不同認識,導致非歐幾何的產生。按所討論的圖形在平面上或空間中,分別稱為「平面幾何」與「立體幾何」。歐幾里德幾何指按照歐幾里德的《幾何原本》構造的幾何學。歐幾里德幾何有時就指平面上的幾何,即平面幾何。三維空間的歐幾里德幾何通常叫做立體幾何。 高維的情形請參看歐幾里德空間。

數學上,歐幾里德幾何是平面和三維空間中常見的幾何,基於點線面假設。數學家也用這一術語表示具有相似性質的高維幾何。
歐幾里德幾何 -公里描述

歐幾里德幾何的傳統描述是一個公理系統,通過有限的公理來證明所有的「真命題」。

歐幾里德幾何的五條公理是:任意兩個點可以通過一條直線連接。 任意線段能無限延伸成一條直線。 給定任意線段,可以以其一個端點作為圓心,該線段作為半徑作一個圓。 所有直角都全等。 若兩條直線都與第三條直線相交,並且在同一邊的內角之和小於兩個直角,則這兩條直線在這一邊必定相交。

第五條公理稱為平行公理,可以導出下述命題:通過一個不在直線上的點,有且僅有一條不與該直線相交的直線。 平行公理並不像其他公理那麼顯然。許多幾何學家嘗試用其他公理來證明這條公理,但都沒有成功。19世紀,通過構造非歐幾里德幾何,說明平行公理是不能被證明的。(若從上述公理體系中去掉平行公理,則可以得到更一般的幾何,即絕對幾何。)

從另一方面講,歐幾里德幾何的五條公理並不完備。例如,該幾何中的有定理:任意線段都是三角形的一部分。他用通常的方法進行構造:以線段為半徑,分別以線段的兩個端點為圓心作圓,將兩個圓的交點作為三角形的第三個頂點。然而,他的公理並不保證這兩個圓必定相交。 因此,許多公理系統的修訂版本被提出,其中有希爾伯特公理系統。

歐幾里德還提出了五個「一般概念」,也可以作為公理。當然,之後他還使用量的其他性質。與同一事物相等的事物相等。 相等的事物加上相等的事物仍然相等。 相等的事物減去相等的事物仍然相等。 一個事物與另一事物重合,則它們相等。 整體大於局部。

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歐幾里德幾何 -建立

歐氏幾何是歐幾里德幾何學的簡稱,其創始人是公元前三世紀的古希臘偉大數學家歐幾里德。在他以前,古希臘人已經積累了大量的幾何知識,並開始用邏輯推理的方法去證明一些幾何命題的結論。歐幾里德這位偉大的幾何建築師在前人準備的「木石磚瓦」材料的基礎上,天才般地按照邏輯系統把幾何命題整理起來,建成了一座巍峨的幾何大廈,完成了數學史上的光輝著作《幾何原本》。這本書的問世,標誌著歐氏幾何學的建立。這部科學著作是發行最廣而且使用時間最長的書。后又被譯成多種文字,共有二千多種版本。它的問世是整個數學發展史上意義極其深遠的大事,也是整個人類文明史上的里程碑。兩千多年來,這部著作在幾何教學中一直佔據著統治地位,至今其地位也沒有被動搖,包括中國在內的許多國家仍以它為基礎作為幾何教材。

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歐幾里德幾何 -歷史

歐幾里德將早期許多沒有聯繫和未予嚴謹證明的定理加以整理,寫下《幾何原本》一書,使幾何學變成為一座建立在邏輯推理基礎上的不朽豐碑。這部劃時代的著作共分13卷,465個命題。其中有八卷講述幾何學,包含了現在中學所學的平面幾何和立體幾何的內容。但《幾何原本》的意義卻絕不限於其內容的重要,或者其對定理出色的證明。真正重要的是歐幾里德在書中創造的一種被稱為公理化的方法。

在證明幾何命題時,每一個命題總是從再前一個命題推導出來的,而前一個命題又是從再前一個命題推導出來的。我們不能這樣無限地推導下去,應有一些命題作為起點。這些作為論證起點,具有自明性並被公認下來的命題稱為公理,如同學們所學的「兩點確定一條直線」等即是。同樣對於概念來講也有些不加定義的原始概念,如點、線等。在一個數學理論系統中,我們儘可能少地先取原始概念和不加證明的若干公理,以此為出發點,利用純邏輯推理的方法,把該系統建立成一個演繹系統,這樣的方法就是公理化方法。歐幾里德採用的正是這種方法。他先擺出公理、公設、定義,然後有條不紊地由簡單到複雜地證明一系列命題。他以公理、公設、定義為要素,作為已知,先證明了第一個命題。然後又以此為基礎,來證明第二個命題,如此下去,證明了大量的命題。其論證之精彩,邏輯之周密,結構之嚴謹,令人嘆為觀止。零散的數學理論被他成功地編織為一個從基本假定到最複雜結論的系統。因而在數學發展史上,歐幾里德被認為是成功而系統地應用公理化方法的第一人,他的工作被公認為是最早用公理法建立起演繹的數學體系的典範。正是從這層意義上,歐幾里德的《幾何原本》對數學的發展起到了巨大而深遠的影響,在數學發展史上樹立了一座不朽的豐碑。

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歐幾里德幾何 -完善

公理化方法已經幾乎滲透於數學的每一個領域,對數學的發展產生了不可估量的影響,公理化結構已成為現代數學的主要特徵。而作為完成公理化結構的最早典範的《幾何原本》,用現代的標準來衡量,在邏輯的嚴謹性上還存在著不少缺點。如一個公理系統都有若干原始概念(或稱不定義概念),如點、線、面就屬於這一類。歐幾里德對這些都做了定義,但定義本身含混不清。另外,其公理系統也不完備,許多證明不得不藉助於直觀來完成。此外,個別公理不是獨立的,即可以由其他公理推出。這些缺陷直到1899年德國數學家希爾伯特的在其《幾何基礎》出版時得到了完善。在這部名著中,希爾伯特成功地建立了歐幾里德幾何的完整、嚴謹的公理體系,即所謂的希爾伯特公理體系。這一體系的建立使歐氏幾何成為一個邏輯結構非常完善而嚴謹的幾何體系。也標誌著歐氏幾何完善工作的終結。

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歐幾里德幾何 -意義

由於歐式幾何具有鮮明的直觀性和有著嚴密的邏輯演繹方法相結合的特點,在長期的實踐中表明,它巳成為培養、提高青、少年邏輯思維能力的好教材。歷史上不知有多少科學家從學習幾何中得到益處,從而作出了偉大的貢獻。

少年時代的牛頓在劍橋大學附近的夜店裡買了一本《幾何原本》,開始他認為這本書的內容沒有超出常識範圍,因而並沒有認真地去讀它,而對笛卡兒的「坐標幾何」很感興趣而專心攻讀。後來,牛頓於1664年4月在參加特列台獎學金考試的時候遭到落選,當時的考官巴羅博士對他說:「因為你的幾何基礎知識太貧乏,無論怎樣用功也是不行的。」這席談話對牛頓的震動很大。於是,牛頓又重新把《幾何原本》從頭到尾地反覆進行了深入鑽研,為以後的科學工作打下了堅實的數學基礎。

近代物理學的科學巨星愛因斯坦也是精通幾何學,並且應用幾何學的思想方法,開創自己研究工作的一位科學家。愛因斯坦在回憶自己曾走過的道路時,特別提到在十二歲的時候「幾何學的這種明晰性和可靠性給我留下了一種難以形容的印象」。後來,幾何學的思想方法對他的研究工作確實有很大的啟示。他多次提出在物理學研究工作中也應當在邏輯上從少數幾個所謂公理的基本假定開始。在狹義相對論中,愛因斯坦就是運用這種思想方法,把整個理論建立在兩條公理上:相對原理和光速不變原理。

在幾何學發展的歷史中,歐幾里得的《幾何原本》起了重大的歷史作用。這種作用歸結到一點,就是提出了幾何學的「根據」和它的邏輯結構的問題。在他寫的《幾何原本》中,就是用邏輯的鏈子由此及彼的展開全部幾何學,這項工作,前人未曾作到。

但是,在人類認識的長河中,無論怎樣高明的前輩和名家,都不可能把問題全部解決。由於歷史條件的限制,歐幾里得在《幾何原本》中提出幾何學的「根據」問題並沒有得到徹底的解決,他的理論體系並不是完美無缺的。比如,對直線的定義實際上是用一個未知的定義來解釋另一個未知的定義,這樣的定義不可能在邏輯推理中起什麼作用。又如,歐幾里得在邏輯推理中使用了「連續」的概念,但是在《幾何原本》中從未提到過這個概念。

歐幾里德幾何 -現代方法

如今,歐幾里德幾何的構造通常不是通過公理化方法,而是通過解析幾何。通過這種方法,可以像證明定理一樣證明歐幾里德(或非歐幾里德)幾何中的公理

歐幾里德幾何 -相關詞條
數學,幾何,科學史,歐幾里德,公理

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