橢圓曲線演算法

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更新時間: 2013-09-01

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數學術語

 

橢圓曲線演算法 -定義

橢圓曲線指的是由韋爾斯特拉斯(Weierstrass)方程 y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6 所確定的平面曲線。若F是一個域,ai ∈F,i=1,2,…,6。滿足式1的數偶(x,y)稱為F域上的橢圓曲線E的點。F域可以式有理數域,還可以式有限域GF(Pr)。橢圓曲線通常用E表示。除了曲線E的所有點外,尚需加上一個叫做無窮遠點的特殊O。

在橢圓曲線加密(ECC)中,利用了某種特殊形式的橢圓曲線,即定義在有限域上的橢圓曲線。其方程如下:
y2=x3+ax+b(mod p)

橢圓曲線演算法 -演算法

這裡p是素數,a和b為兩個小於p的非負整數,它們滿足:
4a3+27b2(mod p)≠0   其中,x,y,a,b ∈Fp,則滿足式(2)的點(x,y)和一個無窮點O就組成了橢圓曲線E。

橢圓曲線離散對數問題ECDLP定義如下:給定素數p和橢圓曲線E,對 Q=kP,在已知P,Q的情況下求出小於p的正整數k。可以證明,已知k和P計算Q比較容易,而由Q和P計算k則比較困難,至今沒有有效的方法來解決這個問題,這就是橢圓曲線加密演算法原理之所在。

橢圓曲線演算法與RSA演算法的比較
橢圓曲線公鑰系統是代替RSA的強有力的競爭者。橢圓曲線加密方法與RSA方法相比,有以下的優點:
(1)安全性能更高  如160位ECC與1024位RSA、DSA有相同的安全強度。
(2)計算量小,處理速度快  在私鑰的處理速度上(解密和簽名),ECC遠      比RSA、DSA快得多。
(3)存儲空間佔用小  ECC的密鑰尺寸和系統參數與RSA、DSA相比要小得多,  所以佔用的存儲空間小得多。
(4)帶寬要求低使得ECC具有廣泛得應用前景。

ECC的這些特點使它必將取代RSA,成為通用的公鑰加密演算法。比如SET協議的制定者已把它作為下一代SET協議中預設的公鑰密碼演算法。

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