慣性橢球

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更新時間: 2013-09-04

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慣性橢球又稱慣量橢球。與計算剛體對通過某一點的任一軸的轉動慣量相關的橢球,它是與剛體固聯在一起的。

慣性橢球 -基本信息
慣性橢球又稱慣量橢球。與計算剛體對通過某一點的任一軸的轉動慣量相關的橢球,它是與剛體固聯在一起的。在任何方向,從橢球的中心到它的表面的距離同剛體繞該方向軸轉動的轉動慣量的平方根成反比。它是法國數學家A.-L.柯西提出的,故又稱柯西慣性橢球。剛體繞某一點轉動的慣性可用慣性張量來描述。設Δmi為組成剛體的質量微元,xiyizi為它在固聯於剛體上的坐標系Oxyz中的坐標,則慣性張量在固聯於剛體上的坐標系Oxyz中的分量式為: 記     慣性橢球

慣性橢球

IxxIyyIzz分別是剛體繞x軸、y軸、z軸的轉動慣量(或稱慣性矩);IxyIyzIxz為各相應的慣性積(或稱離心矩)。慣性張量是二階對稱張量,它完整地刻畫出剛體繞通過O點任一軸的轉動慣量的大小。設剛體繞通過O點的任一軸線轉動,軸線的方向餘弦為aβγ,則剛體對該軸線的轉動慣量為:

IIxxα2Iyyβ2Izzγ2-2Ixyαβ -2Iyzβγ-2Ixzγα

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為了形象地解釋剛體對通過同一點的諸轉軸的轉動慣量分佈,柯西提出了慣性橢球的概念:在通過O點的任一轉軸上取一點P,使慣性橢球,式中k是任意選定但不為零的橢球常數;I為剛體繞該軸的轉動慣量。當軸變動時,P(xyz)點滿足的方程為:

 Ixxx2+Iyyy2+Izzz2-2Ixyxy-2Iyzyz-2Izxzxk2

這方程決定了一個橢球面,稱為慣性橢球。在選定k的情況下,慣性橢球是和剛體固聯的,它上面每一點的矢徑長度恰好和剛體繞該矢徑軸轉動的迴轉半徑成反比。O點的柯西慣性橢球有三根互相垂直的主軸,稱為剛體在O點的慣性主軸。如果選定三根主軸組成的右手直角坐標係為Oxyz,慣性橢球的方程就簡化為:

Ixxx2+Iyyy2+Izzz2k2

此時慣性張量的分量式成為對角形,全部慣性積為零。

慣性主軸的動力學特徵是:剛體當且僅當繞慣性主軸旋轉時,其動量矩矢量才和角速度矢量共線。由此可以看出,慣性主軸的方向是慣性張量這個變換的主方向。慣性主軸是剛體的永久轉軸。對於一根軸來說 (比如記它為Ox軸),它為O點慣性主軸的充要條件是慣性積IxyIxz=0。 物體質量分佈的迴轉對稱軸是該軸上點的慣性主軸。物體質量分佈對稱面的法向軸是該軸與對稱面交點的慣性主軸。物體質心處的慣性主軸稱為該物體的中心主軸。可以證明,中心主軸點上的主軸方向和質心處的主軸方向完全一致。

慣性橢球 -配圖
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