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更新時間: 2013-10-08

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若a^n=b(a>0且a≠1) 則n=log(a)(b) 如果b^n=x,則記n=log(b)(x)。其中,b叫做「底數」,x叫做「真數」,n叫做「以b為底的x的對數」。對數是中學初等數學中的重要內容,是一種計算特殊多位數之間乘積的方法

對數 -簡介

對數的概念:logarithms

log(b)(x)函數中x的定義域是x>0,零和負數沒有對數;b的定義域是b>0且b≠1

對數的歷史:

對數是中學初等數學中的重要內容,那麼當初是誰首創「對數」這種高級運算的呢?在數學史上,一般認為對數的發明者是十六世紀末到十七世紀初的蘇格蘭數學家——納皮爾(Napier,1550-1617年)男爵。在納皮爾所處的年代,哥白尼的「太陽中心說」剛剛開始流行,這導致天文學成為當時的熱門學科。可是由於當時常量數學的局限性,天文學家們不得不花費很大的精力去計算那些繁雜的「天文數字」,因此浪費了若干年甚至畢生的寶貴時間。納皮爾也是當時的一位天文愛好者,為了簡化計算,他多年潛心研究大數字的計算技術,終於獨立發明了對數。當然,納皮爾所發明的對數,在形式上與現代數學中的對數理論並不完全一樣。在納皮爾那個時代,「指數」這個概念還尚未形成,因此納皮爾並不是像現行代數課本中那樣,通過指數來引出對數,而是通過研究直線運動得出對數概念的。那麼,當時納皮爾所發明的對數運算,是怎麼一回事呢?在那個時代,計算多位數之間的乘積,還是十分複雜的運算,因此納皮爾首先發明了一種計算特殊多位數之間乘積的方法。讓我們來看看下面這個例子:

0、1、2、3、4、5、6、7 、8 、9 、10 、11 、12 、13 、14 、……

1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、……

這兩行數字之間的關係是極為明確的:第一行表示2的指數,第二行表示2的對應冪。如果我們要計算第二行中兩個數的乘積,可以通過第一行對應數字的加和來實現。比如,計算64×256的值,就可以先查詢第一行的對應數字:64對應6,256對應8;然後再把第一行中的對應數字加和起來:6+8=14;第一行中的14,對應第二行中的16384,所以有:64×256=16384。納皮爾的這種計算方法,實際上已經完全是現代數學中「對數運算」的思想了。回憶一下,我們在中學學習「運用對數簡化計算」的時候,採用的不正是這種思路嗎:計算兩個複雜數的乘積,先查《常用對數表》,找到這兩個複雜數的常用對數,再把這兩個常用對數值相加,再通過《常用對數的反對數表》查出加和值的反對數值,就是原先那兩個複雜數的乘積了。這種「化乘除為加減」,從而達到簡化計算的思路,不正是對數運算的明顯特徵嗎?經過多年的探索,納皮爾男爵於1614年出版了他的名著《奇妙的對數定律說明書》,向世人公布了他的這項發明,並且解釋了這項發明的特點。所以,納皮爾是當之無愧的「對數締造者」,理應在數學史上享有這份殊榮。偉大的導師恩格斯在他的著作《自然辯證法》中,曾經把笛卡爾的坐標、納皮爾的對數、牛頓和萊布尼茲的微積分共同稱為十七世紀的三大數學發明。法國著名的數學家、天文學家拉普拉斯(PierreSimonLaplace,1749-1827)曾說對數可以縮短計算時間,「在實效上等於把天文學家的壽命延長了許多倍」。

對數的性質及推導
用^表示乘方,用log(a)(b)表示以a為底,b的對數
*表示乘號,/表示除號

定義式:
若a^n=b(a>0且a≠1)
則n=log(a)(b)

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對數 -基本性質

1.a^(log(a)(b))=b
2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

推導
1.這個就不用推了吧,直接由定義式可得(把定義式中的【n=log(a)(b)】帶入a^n=b)

2.
MN=M*N
由基本性質1(換掉M和N)
a^【log(a)(MN)】 = a^【log(a)(M)】 * a^【log(a)(N)】
由指數的性質
a^【log(a)(MN)】 = a^{【log(a)(M)】 + 【log(a)(N)】}
又因為指數函數是單調函數,所以
log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)

3.與2類似處理
MN=M/N
由基本性質1(換掉M和N)
a^【log(a)(M/N)】 = a^【log(a)(M)】 / a^【log(a)(N)】
由指數的性質
a^【log(a)(M/N)】 = a^{【log(a)(M)】 - 【log(a)(N)】}
又因為指數函數是單調函數,所以
log(a)(M/N) = log(a)(M) - log(a)(N)

4.與2類似處理
M^n=M^n
由基本性質1(換掉M)
a^【log(a)(M^n)】 = {a^【log(a)(M)】}^n
由指數的性質
a^【log(a)(M^n)】 = a^{【log(a)(M)】*n}
又因為指數函數是單調函數,所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

其他性質:

性質一:換底公式
log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)

推導如下
N = a^【log(a)(N)】
a = b^【log(b)(a)】

綜合兩式可得
N = {b^【log(b)(a)】}^【log(a)(N)】 = b^{【log(a)(N)】*【log(b)(a)】}

又因為N=b^【log(b)(N)】
所以
b^【log(b)(N)】 = b^{【log(a)(N)】*【log(b)(a)】}
所以
log(b)(N) = 【log(a)(N)】*【log(b)(a)】 {這步不明白或有疑問看上面的}
所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)

性質二:(不知道什麼名字)
log(a^n)(b^m)=m/n*【log(a)(b)】

推導如下
由換底公式【lnx是log(e)(x),e稱作自然對數的底】
log(a^n)(b^m)=ln(a^n) / ln(b^n)
由基本性質4可得

log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}  

再由換底公式  log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------(性質及推導 完)
公式三:
log(a)(b)=1/log(b)(a)

證明如下:
由換底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)  ----取以b為底的對數,log(b)(b)=1
                    =1/log(b)(a)
還可變形得:
               log(a)(b)*log(b)(a)=1

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