54

更新時間: 2013-09-04

廣告

在抽象代數(abstract algebra)中,同構(isomorphism)指的是一個保持結構的雙射(bijection)。在更一般的範疇論語言中,同構指的是一個態射,且存在另一個態射,使得兩者的複合是一個恆等態射。

同構 -簡介

  在抽象代數(abstract algebra)中,同構(isomorphism)指的是一個保持結構的雙射(bijection)。在更一般的範疇論語言中,同構指的是一個態射,且存在另一個態射,使得兩者的複合是一個恆等態射。
同構 -定義

  存在E和F兩個集合,且對於E、F各存在一種運算,我們記作(符號可更換)*·,對於E、F,*·分別封閉(即對於任意兩個集合內的元素,進行運算之後依然為該集合的元素,詳情見群論)。我們說f是一個同構當且僅當f∈Γ(E,F) 和f是一個雙射且對於E內的任意元素a,b都有f(a*b)=f(a)·f(b)。如果上面所描述的E、F為同一集合E,則說f是一個自同構
  常見的同構有:群同構,環同構,域同構,向量空間同構。
同構 -正式的表述是:

  同構是在數學對象之間定義的一類映射,它能揭示出在這些對象的屬性或者操作之間存在的關係。若兩個數學結構之間存在同構映射,那麼這兩個結構叫做是同構的。一般來說,如果忽略掉同構的對象的屬性或操作的具體定義,單從結構上講,同構的對象是完全等價的。
  假設M,M′是兩個乘集,也就是說M和M′是兩個各具有一個閉合的結合法(一般寫成乘法)的代數系,σ是M射到M′的雙射,並且任意兩個元的乘積的像是這兩個元的像的乘積,即對於M中任意兩個元a,b,滿足σ(a·b)=σ(a)·σ(b);也就是說,當a→σ(a),b→σ(b)時,a·b→σ(a)·σ(b);那麼這映射σ就叫做M到M′上的同構。又稱M與M′同構,記作M~M′。
同構 -引入同構的目的

  在數學中研究同構的主要目的是為了把數學理論應用於不同的領域。如果兩個結構是同構的,那麼其上的對象會有相似的屬性和操作,對某個結構成立的命題在另一個結構上也就成立。因此,如果在某個數學領域發現了一個對象結構同構於某個結構,且對於該結構已經證明了很多定理,那麼這些定理馬上就可以應用到該領域。如果某些數學方法可以用於該結構,那麼這些方法也可以用於新領域的結構。這就使得理解和處理該對象結構變得容易,並往往可以讓數學家對該領域有更深刻的理解。

廣告

廣告