勾股容方

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更新時間: 2013-07-21

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勾股容方是古代中國數學中的一個命題。出自《九章算術》第九卷《勾股》章第十五題。經三國時數學家劉徽論證,其後又經中國歷代數學家研究和擴充為股中容直,句中容橫,由此產生一套具有中國傳統數學特色的求解直角三角形幾何學問題的方法,廣泛用於在中國古代幾何學和測量學。中國古代沒有古希臘歐幾里德幾何學的平行線概念,採用容方、容橫、容直概念,收到異曲同工的效用。

勾股容方勾股容方几何解戴震 《句股容方圖》


《九章算術》第九卷《勾股》章第十五題;「今有勾五步,股十二步,問勾中容方幾何?答曰三步十七分步之九。術曰:並勾股為法,勾股相乘為實,實如法而一,得方一步。」如圖直角三角形ABC中內接正方形DEFB。直角三角形高(股))H=AB,底長(勾)L=BC,正方形邊長為X。答案:以勾5步、股12步之和為分母(並勾股為法);以勾5步股、12步之積為分子(勾股相乘為實)得勾中容方邊長= 12x5/(12+5) = 60/17=3 9/17

劉徽為勾股容方的關係式,提供了兩個證明,一個是利用出入相補原理,即利用幾何圖形在移動、轉動時面積守恆,將幾何圖形重新排列,以求結果的方法。先將三角形ABC複製,倒置,和原三角形合併成為一個高為H、寬為L的長方形,如圖。將兩個正方形標以黃色,兩個大直角三角形標紅色,兩個小直角三角形標青色

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HL = X(H+L)

由此得出勾股容方的關係式;

長度X= HL/(H+L)。

劉徽的第二個證明,利用相似三角形比率不變原理。劉徽注曰:「冪圖方在勾中,則方之兩廉各自成小勾股,其相與之勢,不失本率也」。 即內接正方形DEFB的兩邊DE,EF與直角三角形的三邊,各自形成小的直角三角形,而這兩個小直角三角形三邊的比例,和原來大直角三角形的三邊比率相同。劉徽從勾中容方中歸納出「不失本率」原理,即三個相似三角形比率相同。

AD:DE:AE= EF:FC:EC=AB:BC:AC

令股高為H,勾長為L, 勾股容方的邊長為 X, 根據不失本率原理,

   (H-X):X = H/LHL - XL = HXHL+ XL = HL得勾股容方關係式X = HL/(H+L)
勾股容方 -股中容直
勾中容方 股中容直

勾中容方可以轉變為股中容直

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將三角形ABC倒置,與之重疊成長方形ABCD 如圖;其次從勾中容方接觸點E畫水平線EM,垂直線EK,與長方形的邊相交,如圖,三角形ACD內接長方形KDME,構成股中容直

圖中三角形ABC中內接紅色正方形1,三角形ADC有內接長方形2。

中國古代數學中的一條定理,「勾中容方與股中容直,其積必等」由此而來。

由於三角形ABC相等三角形ADC,而三角形3=三角形4;三角形5=三角形6;所以從三角形ABC中減去三角形3,三角形5,剩下的長正方形51必然等於三角形ACD減去三角形4和三角形6后剩餘的長方形2。

即:

  三角形ABC=正方形1+三角形3+三角形5三角形ADC=長方形2+三角形4+三角形6但三角形ABC=三角形ADC所以正方形1+三角形3+三角形5=長方形2+三角形4+三角形6

又有 三角形3=三角形5

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三角形5 =三角形6

所以

  正方形1=長方形2  如以X 代表正方形邊長,H代表股高,L代表勾長得勾股容方的另一關係式;X

這個關係式和關係式 X= HL/(H+ L) 等價;

X由此得出 X= HL/(H+ L)今有邑方二百里各中開門

《九章算術》第九卷勾股第十七題:「今有邑方二百里各中開門。出東門十五步有木,問出南門幾何步而見木?答曰:六百六十六步太半步。」

如圖,方城寬200步,出東門15步有一棵樹T,出南門X步到P點看到樹,求X.

根據上列「勾中容方與股中容直,其積必等」定理,可得

15 * X = 100 x 100步X = 10000 /15 = 666.6步
勾股容方 -勾中容橫
勾中容橫 股中容直今有邑,東西七里,南北九里,各開中門

再推廣一步圖中三角形ABC中內接紅色橫長方形5,三角形ADC有內接長方形6。「勾中容橫,股中容直,二積皆等」。 由於三角形ABC相等三角形ADC,而三角形1=三角形2;三角形3=三角形4;所以從三角形ABC中減去三角形1,三角形3,剩下的長方形5必然等於三角形ACD減去三角形2三角形4后剩餘的長方形6。

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又; 長方形5+三角形3+三角形4 = 長方形6+三角形4+三角形2

即長方形EBGC =長方形HDKC

所以EB x BC = FG x AB

又; 長方形5+三角形1+三角形2 =長方形6+三角形1+三角形2 即; 長方形AHKB = 長方形ADGE 即  EF x AB =AE x EG

《九章算術》第九卷第十八問:「今有邑,東西七里,南北九里,各開中門。出東門十五里有木,問出南門幾何步而見木?答曰:三百一十五步。」

用勾中容橫與股中容直,其積必等定理

得 15X = 3.5 x 4.5

X = 3.5 x 4.5/15 =1.05 里 = 1.05 x 300 = 315步
勾股容方 -薄透鏡成像
薄透鏡成像牛頓透鏡成像公式的勾股容方

薄透鏡成像的規律(包括牛頓透鏡成像公式)蘊含著勾股容方的關係式。加拿大科學家Harold Merklinger所著的關於攝影機鏡頭景深的書籍,封面上正是一幅「勾股容方」圖

如圖物距為D, 像距為d, 透鏡焦點為f

透鏡成像公式: 1/f = 1/D + 1/d = Dd/(D+d)

即 f = Dd/(D+d)

這恰恰是勾股容方的關係式, 即勾d,股D, 容方長為f.

從勾股容方,股中容長,其積相等原理,可知圖中黃方形的面積=藍長方形的面積,

(D-f) (d-f) = f*f

這正是著名的牛頓透鏡成像公式。

勾股容方 -參考文獻
戴震《句股容方圖》
九章算術》注曰;「勾股相乘為朱、青、黃冪各二,令黃冪連於下隅,朱、青各以類合,共成修冪。中方黃為廣,並勾股為袤,故並勾股為法。」
^[1]
《九章算術》第九卷
吳文俊主編 《中國數學史大系》 第三卷 第三章 劉徽對勾股理論的論述 第三節 ISBN 7-303-04557-0
Harold Merklinger: The INs and OUTs of FOCUS ISBN 0-9695025-0-8

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