分形幾何學

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更新時間: 2013-09-05

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分形幾何學是近幾年新興的幾何學,主要內容為空間具有不一定是整數的維,而存在一個分數維數。

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1 分形幾何學 -關鍵詞

 分形幾何學

2 分形幾何學 -具體解說

分形幾何學普通幾何學研究的對象,一般都具有整數的維數。比如,零維的點、一維的線、二維的面、三維的立體、乃至四維的時空。最近十幾年的,產生了新興的分形幾何學,空間具有不一定是整數的維,而存在一個分數維數,這是幾何學的新突破,引起了數學家和自然科學者的極大關注。
分形幾何的產生

客觀自然界中許多事物,具有自相似的「層次」結構,在理想情況下,甚至具有無窮層次。適當的放大或縮小几何尺寸,整個結構並不改變。不少複雜的物理現象,背後就是反映著這類層次結構的分形幾何學。

客觀事物有它自己的特徵長度,要用恰當的尺度去測量。用尺來測量萬里長城,嫌太短;用尺來測量大腸桿菌,又嫌太長。從而產生了特徵長度。還有的事物沒有特徵尺度,就必須同時考慮從小到大的許許多多尺度(或者叫標度),這叫做「無標度性」的問題。

如物理學中的湍流,湍流是自然界中普遍現象,小至靜室中繚繞的輕煙,巨至木星大氣中的渦流,都是十分紊亂的流體運動。流體宏觀運動的能量,經過大、中、小、微等許許多度尺度上的漩渦,最後轉化成分子尺度上的熱運動,同時涉及大量不同尺度上的運動狀態,就要藉助「無標度性」解決問題,湍流中高漩渦區域,就需要用分形幾何學。

在二十世紀七十年代,法國數學家曼德爾勃羅特在他的著作中探討了英國的海岸線有多長?這個問題這依賴於測量時所使用的尺度。

如果用公里作測量單位,從幾米到幾十米的一些曲折會被忽略;改用米來做單位,測得的總長度會增加,但是一些厘米量級以下的就不能反映出來。由於漲潮落潮使海岸線的水陸分界線具有各種層次的不規則性。海岸線在大小兩個方向都有自然的限制,取不列顛島外緣上幾個突出的點,用直線把它們連起來,得到海岸線長度的一種下界。使用比這更長的尺度是沒有意義的。還有海沙石的最小尺度是原子和分子,使用更小的尺度也是沒有意義的。在這兩個自然限度之間,存在著可以變化許多個數量級的「無標度」區,長度不是海岸線的定量特徵,就要用分維。

數學家寇赫從一個正方形的「島」出發,始終保持面積不變,把它的「海岸線」變成無限曲線,其長度也不斷增加,並趨向於無窮大。以後可以看到,分維才是「寇赫島」海岸線的確切特徵量,即海岸線的分維均介於1到2之間。

這些自然現象,特別是物理現象和分形有著密切的關係,銀河系中的若斷若續的星體分佈,就具有分維的吸引子。多孔介質中的流體運動和它產生的滲流模型,都是分形的研究對象。這些促使數學家進一步的研究,從而產生了分形幾何學。

電子計算機圖形顯示協助了人們推開分形幾何的大門。這座具有無窮層次結構的宏偉建築,每一個角落裡都存在無限嵌套的迷宮和迴廊,促使數學家和科學家深入研究。

法國數學家曼德爾勃羅特這位計算機和數學兼通的人物,對分形幾何產生了重大的推動作用。他在1975、1977和1982年先後用法文和英文出版了三本書,特別是《分形——形、機遇和維數》以及《自然界中的分形幾何學》,開創了新的數學分支——分形幾何學。

分形幾何的內容

分形幾何學的基本思想是:客觀事物具有自相似的層次結構,局部與整體在形態、功能、信息、時間、空間等方面具有統計意義上的相似性,成為自相似性。例如,一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極,不斷分割下去,每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場。這種自相似的層次結構,適當的放大或縮小几何尺寸,整個結構不變。

維數是幾何對象的一個重要特徵量,它是幾何對象中一個點的位置所需的獨立坐標數目。在歐氏空間中,人們習慣把空間看成三維的,平面或球面看成二維,而把直線或曲線看成一維。也可以稍加推廣,認為點是零維的,還可以引入高維空間,對於更抽象或更複雜的對象,只要每個局部可以和歐氏空間對應,也容易確定維數。但通常人們習慣於整數的維數。

分形理論認為維數也可以是分數,這類維數是物理學家在研究混沌吸引子等理論時需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的「非規則」程度,1919年,數學家從測度的角度引入了維數概念,將維數從整數擴大到分數,從而突破了一般拓撲集維數為整數的界限。

維數和測量有著密切的關係,下面我們舉例說明一下分維的概念。

當我們畫一根直線,如果我們用 0維的點來量它,其結果為無窮大,因為直線中包含無窮多個點;如果我們用一塊平面來量它,其結果是 0,因為直線中不包含平面。那麼,用怎樣的尺度來量它才會得到有限值哪?看來只有用與其同維數的小線段來量它才會得到有限值,而這裡直線的維數為 1(大於0、小於2)。

對於我們上面提到的「寇赫島」曲線,其整體是一條無限長的線摺疊而成,顯然,用小直線段量,其結果是無窮大,而用平面量,其結果是 0(此曲線中不包含平面),那麼只有找一個與「寇赫島」曲線維數相同的尺子量它才會得到有限值,而這個維數顯然大於 1、小於 2,那麼只能是小數了,所以存在分維。經過計算「寇赫島」曲線的維數是1.2618……。

3 分形幾何學 -分形幾何學的應用



分形幾何學已在自然界與物理學中得到了應用。如在顯微鏡下觀察落入溶液中的一粒花粉,會看見它不間斷地作無規則運動(布朗運動),這是花粉在大量液體分子的無規則碰撞(每秒鐘多達十億億次)下表現的平均行為。布朗粒子的軌跡,由各種尺寸的折線連成。只要有足夠的解析度,就可以發現原以為是直線段的部分,其實由大量更小尺度的折線連成。這是一種處處連續,但又處處無導數的曲線。這種布朗粒子軌跡的分維是 2,大大高於它的拓撲維數 1。

在某些電化學反應中,電極附近成績的固態物質,以不規則的樹枝形狀向外增長。受到污染的一些流水中,粘在藻類植物上的顆粒和膠狀物,不斷因新的沉積而生長,成為帶有許多鬚鬚毛毛的枝條狀,就可以用分維。

自然界中更大的尺度上也存在分形對象。一枝粗干可以分出不規則的枝杈,每個枝杈繼續分為細杈……,至少有十幾次分支的層次,可以用分形幾何學去測量。

有人研究了某些雲彩邊界的幾何性質,發現存在從 1公里到1000公里的無標度區。小於 1公里的雲朵,更受地形概貌影響,大於1000公里時,地球曲率開始起作用。大小兩端都受到一定特徵尺度的限制,中間有三個數量級的無標度區,這已經足夠了。分形存在於這中間區域。

近幾年在流體力學不穩定性、光學雙穩定器件、化學震蕩反映等試驗中,都實際測得了混沌吸引子,並從實驗數據中計算出它們的分維。學會從實驗數據測算分維是最近的一大進展。分形幾何學在物理學、生物學上的應用也正在成為有充實內容的研究領域。

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4 分形幾何學 -分形幾何學的意義

  上世紀80年代初開始的「分形熱」經久不息。分形作為一種新的概念和方法,正在許多領域開展應用探索。美國物理學大師約翰·惠勒說過:今後誰不熟悉分形,誰就不能被稱為科學上的文化人。由此可見分形的重要性。 中國著名學者周海中教授認為:分形幾何不僅展示了數學之美,也揭示了世界的本質,還改變了人們理解自然奧秘的方式;可以說分形幾何是真正描述大自然的幾何學,對它的研究也極大地拓展了人類的認知疆域。   

分形幾何學作為當今世界十分風靡和活躍的新理論、新學科,它的出現,使人們重新審視這個世界:世界是非線性的,分形無處不在。分形幾何學不僅讓人們感悟到科學與藝術的融合,數學與藝術審美的統一,而且還有其深刻的科學方法論意義。

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5 分形幾何學 -分形幾何的內容

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