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更新時間: 2013-08-15

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凸函數就是一個定義在某個向量空間的凸子集C(區間)上的實值函數。

基本簡介
凸函數是一個定義在某個向量空間凸子集C(區間)上的實值函數f,而且對於凸子集C中任意兩個向量x1,x2,f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2。
於是容易得出對於任意(0,1)中有理數p,f(px1+(1-p)x2)≤pf(x1)+(1-p)f(x2)。如果f連續,那麼p可以改成任意(0,1)中實數。
若這裡凸集C即某個區間I,那麼就是:設f為定義在區間I上的函數,若對I上的任意兩點X1,X2和任意的實數λ∈(0,1),總有
f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),
則f稱為I上的凸函數。
判定方法可利用定義法、已知結論法以及函數的二階導數
對於實數集上的凸函數,一般的判別方法是求它的二階導數,如果其二階導數在區間上非負,就稱為凸函數。(向下凸)
如果其二階導數在區間上恆大於0,就稱為嚴格凸函數。
屬性
定義
定義1f(x)在區間I上有定義,f(x)在區間I稱為是凸函數當且僅當:∀x1,∀x2∈I,有f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)上式中「≤」改成「<」則是嚴格凸函數的定義.
定義2f(x)在區間I上有定義,f(x)在區間I稱為是凸函數當且僅當:∀x1,∀x2∈I, 有f[(x1+x2)/2]≤f(x1)/2+f(x2)/2
定義3f(x)在區間I上有定義,f(x)在區間I稱為是凸函數當且僅當x1、x2....xn∈I:,有f[(x1+x2+......xn)/n]≤[f(x1)+f(x2)+......f(xn)]/n
定義4f(x)在區間I上有定義,當且僅當曲線y=f(x)的切線恆保持在曲線以下,則成f(x)為凸函數.若除切點之外,切線嚴格保持在曲線下方,則稱曲線f(x)為嚴格凸的.
引理1定義2與定義3等價.
引理2若連續,則定義1,2,3等價.
微積分
如果f和g是凸函數,那麼m(x) = max{f(x),g(x)}和h(x) = f(x) + g(x)也是凸函數。
如果f和g是凸函數,且g遞增,那麼h(x) = g(f(x))是凸函數。
凸性在仿射映射下不變:也就是說,如果f(x)是凸函數,那麼g(y) = f(Ay + b)也是凸函數,其中
如果f(x,y)在(x,y)內是凸函數,且C是一個凸的非空集,那麼在x內是凸函數,只要對於某個x,有。
初等運算
1、如果fg是凸函數,那麼m(x)=max{f(x),g(x)}h(x)=f(x)+g(x)也是凸函數。
2、如果fg是凸函數,且g遞增,那麼h(x)=f(g(x))是凸函數。
3、凸性在仿射映射下不變:也就是說,如果f(x)是凸函數,那麼g(y)=f(Ay+b)也是凸函數
舉例子
函數f(x) = x&sup2;處處有,因此f是一個(嚴格的)凸函數。
絕對值函數f(x) = | x | 是凸函數,雖然它在點x = 0沒有導數。
當1 ≤ p時,函數f(x) = | x | p是凸函數。
定義域為[0,1]的函數f,定義為f(0)=f(1)=1,當0函數x3的二階導數為6x,因此它在x ≥ 0的集合上是凸函數,在x ≤ 0的集合上是凹函數。
每一個在內取值的線性變換都是凸函數,但不是嚴格凸函數,因為如果f是線性函數,那麼f(a + b) = f(a) + f(b)。如果我們把「凸」換為「凹」,那麼該命題也成立。
每一個在內取值的仿射變換,也就是說,每一個形如f(x) = aTx + b的函數,既是凸函數又是凹函數。
每一個范數都是凸函數,這是由於三角不等式。
如果f是凸函數,那麼當t > 0時,g(x,t) = tf(x / t)是凸函數。
單調遞增但非凸的函數包括和g(x) = log(x)。
非單調遞增的凸函數包括h(x) = x2和k(x) = − x。
函數f(x) = 1/x2,f(0)=+∞,在區間(0,+∞)內是凸函數,在區間(-∞,0)內也是凸函數,但是在區間(-∞,+∞)內不是凸函數,這是由於x = 0處的奇點。
某些教材的凸函數定義與此定義相反,即凸函數與凹函數相反。如北京大學版本和中山大學的數學教材。

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