傅里葉級數

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更新時間: 2013-12-12

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科技名詞定義中文名稱:傅里葉級數 英文名稱:Fourier series 定義:如果一個給定的非正弦周期函數f(t)滿足狄利克雷條件,它能展開為一個收斂的級數

傅里葉級數 -傅里葉級數
傅里葉級數 -正文

  法國數學家傅里葉發現,任何周期函數都可以用正弦函數和餘弦函數構成的無窮級數來表示(選擇正弦函數與餘弦函數作為基函數是因為它們是正交的),後世稱為傅里葉級數(法文:série de Fourier,或譯為傅里葉級數)

一種特殊的三角級數。形如

傅里葉級數   (1)

的級數,其中αn(n=0,1,2,…)和bn(n=1,2,…)是與x無關的實數,稱為三角級數。特別,當(1)中的係數αnbn可通過某個函數ƒ(x)用下列公式表示時,級數(1)稱為ƒ的傅里葉級數:

傅里葉級數   (2)

式中ƒ是周期2π的可積函數,即ƒl(-π,π)。此時,由公式(2)得到的係數αnbn稱為ƒ的傅里葉係數。ƒ的傅里葉級數記為

傅里葉級數。   (3)

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當然,ƒ的傅里葉級數並不一定收斂;即使收斂,也不一定收斂於ƒ(x)。假如已知三角級數一致收斂於ƒ(x),即傅里葉級數,那麼雙方都乘以cosnx或sinnx后,在(-π,π)上可以逐項積分,由三角函數系的正交性,即得公式(2)。所以,如果三角級數(1)一致收斂於ƒ(x),級數(1)必為ƒ的傅里葉級數。
  問題往往是,給定函數ƒ,需要把它表示成三角級數(1)。J.-B.-J.傅里葉的建議是,利用公式(2),求出ƒ的傅里葉係數αn,bn,就得到傅里葉級數(3)。可以證明,只要ƒ滿足一定的條件,那麼ƒ的傅里葉級數σ【ƒ】收斂於ƒ
  傅里葉級數的收斂判別法  常用的判別法有:
  ① 迪尼判別法 對固定的點x,如有數s,使得函數φx(u)/u=(ƒ(x+u)+ƒ(x-u)-2s)/u在【-π,π】上勒貝格可積,則σ【ƒ】在點x收斂於s。由此可知,當ƒ在點x連續,並滿足李普希茨條件,即傅里葉級數(0<uh),那麼σ【ƒ】在x收斂於ƒ(x),其中M ,hα均為正數,且α≤1。另外,當ƒ(x)具有連續的導函數ƒ┡(x)時,σ【ƒ】一致收斂於ƒ(x)。
  ② 狄利克雷-若爾當判別法 假設函數ƒ在含有點x的某區間,例如[x-h,x+h]上分段單調,則ƒ的傅里葉級數在點x收斂於(ƒ(x+0)+ƒ(x-0))/2。
  上面提到的收斂判別法,對函數所提的要求,都是充分條件,並非必要的。關於收斂性判別法,還有幾種。值得注意的是,至今還沒有收斂的充分且必要的條件。
  傅里葉級數的複數形式   三角級數(1)還可用指數函數來表示。事實上,傅里葉級數/2,傅里葉級數(叿n表示сn的共軛複數),那麼級數(1)可寫成複數形式

傅里葉級數,    (4)

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這裡,(4)的部分和Sn理解為傅里葉級數。假如(1)是ƒ的傅里葉級數,那麼它的複數形式也是(4),但係數

傅里葉級數。   (5)

上式表達的сn稱為ƒ的復傅里葉係數,又稱ƒ的傅里葉係數的復形式。
  傅里葉係數的重要性質  列舉下面兩條:
  ① 若ƒ(xl(-π,π),則ƒ的傅里葉係數αn,bn(或сn),當n→∞時趨於0,稱為黎曼-勒貝格定理。
  ② 若ƒ(xl(-π,π),則有

傅里葉級數

這個等式稱為帕舍伐爾等式;反之假如{сk}是一列雙向的數列,滿足條件傅里葉級數,那麼必存在惟一的函數ƒ(xl(-π,π),它的傅里葉係數等於{сk}(k=0,±1,±2,…)。這個逆命題稱為里斯-費希爾定理。
  三角級數與單位圓內解析函數的關係 z=e(0≤x<2π)是複平面單位圓周上的點,於是級數

傅里葉級數   (6)

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的實部就是三角級數(1),虛部

傅里葉級數   (7)

稱為三角級數(1)的共軛級數。假如(6)中的z表示單位圓內的點,即z=re(0≤r<1),那麼(6)就是復變數z=re的冪級數,當它收斂時,其和函數是單位圓內的解析函數。所以三角級數(1)可以看做單位圓內解析函數邊界值的實部。
  多元三角級數與多元傅里葉級數 傅里葉級數為m 維歐氏空間R的點,級數

傅里葉級數   (8)

稱為m元三角級數,其中傅里葉級數,而n1,n2,…,nm為整數。假如ƒ(x)=ƒ(x1,x2,…,xm)關於每個變數xi(1≤i≤m)都是周期為2π的周期函數,且在立方體

Q:-π ≤xj≤π (j=1,2,…,m)   (9)

上,ƒ是勒貝格可積的。類似於(5),如果(8)中係數傅里葉級數

傅里葉級數

那麼稱(8)為ƒ的傅里葉級數,並記為

傅里葉級數

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多元傅里葉係數也有類似於一元傅里葉係數的許多性質,但多元三角級數與多元傅里葉級數的許多問題,卻遠較一元複雜。在中國,程民德最早系統研究多元三角級數與多元傅里葉級數。他首先證明多元三角級數球形和的惟一性定理,並揭示了多元傅里葉級數的里斯-博赫納球形平均的許多特性。
  傅里葉級數在數學物理以及工程中都具有重要的應用。
  參考書目
 A. Zygmund,Trigonometric Series,Vol. 1~2, Cambridge Univ.Press,Cambridge,1959.

三角函數族的正交性

所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為0,這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性,例如,在三維歐氏空間中,互相垂直的向量之間是正交的。事實上,正交是垂直在數學上的的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線性無關的,所以必然可以張成一個n維空間,也就是說,空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。三角函數族的正交性用公式表示出來就是:

 

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