傅里葉積分運算元

標籤: 暫無標籤

11

更新時間: 2013-09-05

廣告

傅里葉積分運算元是偏微分運算元理論中的重要工具。它和擬微分運算元一起,被稱為「70年代技術」。擬微分運算元的前身是具強奇性的卷積型奇異積分運算元。

傅里葉積分運算元 -傅里葉積分運算元

 

傅里葉積分運算元 -正文
  偏微分運算元理論中的重要工具。它和擬微分運算元一起,被稱為「70年代技術」。擬微分運算元的前身是具強奇性的卷積型奇異積分運算元。
  奇異積分運算元  在n維歐氏空間Rn中,設點x=(x1,x2,…,xn)的函數

傅里葉積分運算元

傅里葉積分運算元

式中:①Ω(x)是零次齊次的;②傅里葉積分運算元;③Ω(x)在單位球面Sn-1上的積分平均值是零,即

傅里葉積分運算元

於是以k(x)為核的奇異積分運算元K就是

傅里葉積分運算元,   (1)

這裡傅里葉積分運算元
  經典的例子是所謂里斯變換

傅里葉積分運算元

式中Cn是某一僅依賴於維數n的常數。特別當n=1時,即為希爾伯特變換。當1<p<∞時,後者乃lplp的有界運算元,這是頗為深刻的一個經典結果。1952年A.P.考爾德倫和A.贊格蒙在將條件②大加削弱的情況下,成功地證明了一般(1)形運算元Klp有界性(1<p<∞)。此後他們還發展了F.G.特里科米(1926~1928)、G.吉勞德(1934~1936)、S.G.米歇利姆(1936~1948)諸人的前驅性工作,創立高維奇異積分運算元的所謂米歇利姆-考爾德倫-贊格蒙理論,且應用於偏微分方程理論。
  在這一理論及其應用中,作為(1)形之推廣的運算元類

傅里葉積分運算元

廣告

其運算元代數(作乘積與取共軛)的符號演演算法則,有突出的意義。(2)中係數α(x)及其任意階微商均有界;核傅里葉積分運算元關於z是一n次齊次的,且在|z|=1上的平均值為零;對任意α及β∈Z傅里葉積分運算元而言,當|z|=1時,傅里葉積分運算元總是有界的。在這些條件下,可以證明,任意(2)形運算元Klplp的有界運算元,經適當擴張后,也是索伯列夫空間hshs的有界運算元(這裡1<p<∞,s為任意實數)。
  對任意由非負整數組成的n重指標傅里葉積分運算元傅里葉積分運算元傅里葉積分運算元,總是令

傅里葉積分運算元

傅里葉積分運算元

傅里葉積分運算元

  對(2)類運算元作符號演算的依託是關於該運算元的象徵(或稱作符號)的概念:對核k(x,z)取關於z的部分傅里葉變換

傅里葉積分運算元

並定義運算元K的象徵為

傅里葉積分運算元。   (3)

用它根據傅里葉變換理論,可將運算元K表為

傅里葉積分運算元。   (4)

這至少在ƒS(Rn)(無窮次可微,且各階微商都劇減的施瓦爾茨函數類)時是正確的。由此,可以通過一些極限程序或對偶程序而擴張此式於ƒlp(1<p<∞),以至於ƒhs)(對一切s∈R)等等。
  可以證明,一個函數σ(x,ξ)是某運算元K按(3)式定義的象徵,當且僅當σ()關於ξ是零次齊次的,σ(C(ξ≠0)並且對任意α、β∈Z傅里葉積分運算元,總存在常數Cα,β使

傅里葉積分運算元。   (5)

廣告

σ()滿足以上條件時,令α(x)為σ()在|ξ|=1上的平均值,並取k()為σ()-α(x)關於ξ的部分逆傅里葉變換,於是就得到以σ()為象徵的運算元K
  由上述可知,象徵類關於逐點乘法和取復共軛的運算(關於加法和數乘法更不用說)是封閉的。以兩個(2)形奇異積分運算元K1K2之象徵的乘積傅里葉積分運算元為其象徵的奇異積分運算元稱為K1K2的准乘積,記作K1K2;以一個(2)形奇異積分運算元K之象徵的復共軛傅里葉積分運算元為象徵的奇異積分運算元稱為K的准共軛, 記作K#。於是關於奇異積分運算元的符號演演算法則可以概述為:對每一個βR而言,差K1K2-K1K2與差K*-K#,都是hshs+1的有界運算元。這裡,對每個βR而言,由於運算元K(經擴張后)都是K_sh_s的有界運算元,而hs又可自然地視作h_s的(復共軛線性)對偶, 故K有作為hshs的有界運算元之通常意義下的共軛運算元,將它記作K*
  應當指出,如將象徵傅里葉積分運算元取成一僅是ξ的函數σ(ξ)時,(4)式可寫成傅里葉積分運算元,即ƒ是一傅里葉乘子變換(這裡對所涉及的任何g,抭總表示g的傅里葉變換)。與此在本質上相似的變換早已見於傅里葉級數理論中,特別,J.馬欽凱維奇1939年研究過多重傅里葉級數的乘子變換的lp有界性(1<p<∞),後來,S.G.米歇利姆對多重傅里葉積分作了相應的工作。由於有此種種歷史緣由,以及事情的本質,人們總把一般高維奇異積分運算元看作是具變係數的傅里葉乘子。
  擬微分運算元  50年代末,60年代初,奇異積分運算元的米歇利姆-考爾德倫-贊格蒙理論在偏微分方程的研究中頗為充分的顯示出它的功用。比如,A.P.考爾德倫用它導出關於線性偏微分方程的柯西問題惟一性定理,M.F.阿蒂亞與I.M.辛格又藉以建立了影響很大的橢圓運算元的指標理論。從而推動了一些數學家致力於創立一種除奇異積分運算元之外,還包括一般變係數線性偏微分運算元及其逆(當其存在時)在內的運算元代數,使得有更精密而同時也很靈活的符號演演算法則。於是定名為擬微分運算元的理論應運而生,其奠基性的代表著作是1965年發表的J.J.科恩和L.尼倫伯格的《擬微分運算元代數》以及L.赫爾曼德爾的《擬微分運算元》。
  考慮一個線性偏微分運算元傅里葉積分運算元。為簡單計,設αα(x)連同其各階微商在Rn上都有界。按傅里葉反演公式

傅里葉積分運算元,   (6)

廣告

式中傅里葉積分運算元,這至少於uS(Rn)時正確。與公式(4)對照,啟示人們在P()既不是ξ的多項式,也不是ξ的零次正齊次函數的情形,照樣用公式(6)定義運算元P(x,D),並稱之為以P()為象徵的擬微分運算元。當限制象徵P()於適當的函數類中時,則所得出的擬微分運算元類構成極便於操作(其中包括取共軛)的運算元代數。比如說,可以使用象徵類:傅里葉積分運算元m取遍所有實數);這裡稱P(BSm,當且僅當傅里葉積分運算元並對任意α、&BETA;∈Z傅里葉積分運算元總存在常數Cα,β使

傅里葉積分運算元。   (7)

象徵在BSm中的擬微分運算元,稱為是m階的。(3)形奇異積分運算元,如(3)、(4)、(5)所表明,基本上是零階的擬微分運算元。(5)與m=0時的(7)之差別是技術性的。
  任何m階的擬微分運算元,經擴張后,對任意實數s而言,都是hshs-m的有界運算元。
  如傅里葉積分運算元傅里葉積分運算元,則乘積運算元A(x,D)B(x,D)也是一擬微分運算元C(x,D),其屬於傅里葉積分運算元的象徵C()由如下的萊布尼茨規則漸近地確定:

傅里葉積分運算元   (8)

廣告

(moduloBS-∞屌∩BSm)(m取遍所有實數)。實際上,(8)意味著:如對任一正整數N,令傅里葉積分運算元·傅里葉積分運算元A(x,D)B(x,D)-CN(x,D)是階為m1+m2-N的一擬微分運算元,從而是傅里葉積分運算元的有界運算元(N愈大愈光滑)又若ABSm,則共軛運算元A(x,D)*也是個階為m的擬微分運算元,其象徵是

傅里葉積分運算元

由(8)特別可知:
  A(x,D)B(x,D)=AB(x,D)modulo階更低的項,
  [A(x,D),B(x,D)]
    =-iA,B}(x,D)modulo低階項。此處[A(x,D),B(x,D)]表示括弧中兩運算元的交換子,而

傅里葉積分運算元   (9)

就是經典力學中的所謂泊松括弧。
  此外,擬微分運算元如同微分運算元一樣,經變數變換后仍是這種運算元,即,如τ:xy=τ(x)是Rn之一微分自同胚(設τ(x)的各階微商均有界且雅可比行列式 detτ┡(x)的絕對值有正下界),則對任意傅里葉積分運算元傅里葉積分運算元也是個m階似微分運算元,記作τA(y,Dx),其象徵

傅里葉積分運算元

廣告

傅里葉積分運算元

正是擬微分運算元的這種屬性及複合法則,使得人們能在任一C微分流形M上加以定義,此時象徵乃是餘切叢T*M上的對象。
  關於擬微分運算元理論的各種應用,在L.尼倫伯格的《線性偏微分方程講義》、F.特里韋斯的《擬微分運算元和傅里葉積分運算元導引》以及J.查扎雷恩與A.皮里奧合寫的《線性偏微分方程論導引》中有詳細的敘述。
  必須指出,擬微分運算元的運算性質,容許人們將有關偏微分運算元的許多問題微局部化之後處理,比如,通過某種單位分解傅里葉積分運算元(φυ具適當支集),而將一偏微分運算元P(x,D)分解成傅里葉積分運算元低階項,等等。這與下面要講的傅里葉積分運算元理論配合,就形成了偏微分運算元論中最強有力的所謂「70年代技術」。它的最新表述和發展在C.L.費弗曼的《不定性原理》之中有精彩解說。
  傅里葉積分運算元  純形式地而言,定義典型的局部傅里葉積分運算元,只不過將(6)中的位相函數x·ξ換成比較更一般的函數S(),即它們的形狀如

傅里葉積分運算元   (10)

廣告

式中位相S(x,η)假定是傅里葉積分運算元中實值函數,並對ξ是一次正齊次的,而振幅αx,η)屬於某個象徵類(在擬微分運算元理論中出現那些),在|η|充分小時恆等於零;此外,重要的設在振幅α的支集的某錐狀鄰域(關於η用任何正實數乘后不變)中,S(x,η)是一個典型變換ψ:(y,η)→()=ψ()的生成函數,即ψ由方程

傅里葉積分運算元

確定傅里葉積分運算元。此處說到的典則變換,就是使泊松括弧(其定義形式為(9))為不變的變換。
  傅里葉積分運算元產生於用幾何光學方法求經典波動過程的漸近表達式及求量子力學問題在大範圍內適用的准經典近似。P.D.拉克斯1957年關於前一方面的工作,Β.∏.馬斯洛夫1965年關於后一方面的工作,導致赫爾曼德爾於1968~1970年期間系統地建立了傅里葉積分運算元的局部以及整體理論。
  典則變換,及與之相關的一整套辛幾何是傅里葉積分運算元理論及其應用的基石,這早已在Β.∏.馬斯洛夫的工作中表現得相當清楚。後來,ю.Β.葉戈羅夫又有一重要發現(1969):當A為形如(10)的一個運算元,而PQ是使相似關係PAAQ成立的擬微分運算元,則PQ的象徵(modolu低階項)由位相S(x,η)生成的典型變換聯繫。這意味著象尋常作自變數變換以簡化微分運算元似地,有可能用典則變換先簡化其象徵,然後用相應的傅里葉積分運算元作相似變換以簡化一個擬微分運算元。其實,這只是在微局部意義上方能作到的事情,此種曲折實現方法即所謂的「70年代技術」。

 

傅里葉積分運算元 -配圖

 

傅里葉積分運算元 -相關連接

廣告