偶函數

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更新時間: 2013-09-05

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偶函數 -偶函數(Even Function)定義

1、如果知道函數表達式,對於函數f(x)的定義域內任意一個x,都滿足 f(x)=f(-x) 如y=x²,y=cos x
2、如果知道圖像,偶函數圖像關於y軸(直線x=0)對稱.
3、偶函數的定義域D關於原點對稱是這個函數成為偶函數的必要非充分條件.
例如:f(x)=x^2,x∈R(f(x)等於x的平方,x屬於一切實數),此時的f(x)為偶函
偶函數的性質3

數.f(x)=x^2,x∈(-2,2](f(x)等於x的平方,-2
如圖①奇函數(關於原點對稱),圖②即為偶函數,(關於y軸對稱)
注意 定義域為關於y軸對稱,則f(x)=f(-x)一定是是偶函數
相關函數: 奇函數, 非奇非偶函數
定義:1、如果知道函數表達式,滿足f(x)=f(-x) 如y=x*x,y=Cosx
偶函數
2、如果知道圖像,偶函數圖像關於y軸(x=0)對稱.
3、偶函數的定義域必須關於原點對稱,否則不能成為偶函數
如圖(1)奇函數(關於原點對稱),圖(2)偶函數,(關於y軸對稱)
偶函數 -關於奇偶函數判斷的方法


代數判斷方法:
先判斷定義域是否關於原點和Y軸對稱,若不對稱,即為非奇非偶,若對稱,f(-x)=-f(x)的是奇函數 f(-x)=f(x)的是偶函數
幾何判斷方法:
關於原點對稱的函數是 奇函數,關於Y軸對稱的函數是偶函數
如果f(x)為偶函數,則f(x+a)=f(-x-a)

運算方法


(1) . 兩個偶函數相加所得的和為偶函數.
(2) . 兩個奇函數相加所得的和為奇函數.
(3) . 一個偶函數與一個奇函數相加所得的和為非奇函數與非偶函數.
(4) . 兩個偶函數相乘所得的積為偶函數.
(5) . 兩個奇函數相乘所得的積為偶函數.
(6) . 一個偶函數與一個奇函數相乘所得的積為奇函數.
(7).奇函數一定滿足f(0)=0(因為F(0)這個表達式表示0在定義域範圍內,0在定義域範圍內,F(0)就必須為0)所以奇函數不一定有f(0),但有F(0)時F(0)必須等於0,不一定有f(0)=0,推出奇函數,此時函數不一定為奇函數,例f(x)=x^2.
(8)定義在R上的奇函數f(x)必滿足f(0)=0;
——因為定義在R上,所以在x=0點存在f(0),要想關於原點對稱,在原點又只能取一個y值,只能是f(0)=0。
(這是一條可以直接拿來用的結論:當x可以取0,f(x)又是奇函數時,f(0)=0)。
(9)當且僅當f(x)=0(定義域關於原點對稱)時,f(x)既是奇函數又是偶函數。
(10) 在對稱區間上,被積函數為奇函數的 定積分為零。

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