信號流圖

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更新時間: 2013-09-04

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信號流圖,是藉助拓撲圖形求線性代數方程組解的一種方法。在1953年由S.J.梅森提出,故又稱梅森圖。這一方法能將各有關變數的因果關係在圖中明顯地表示出來,常用於分析線性系統,例如求它們的傳遞函數。

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1 信號流圖 -信號流圖

 

2 信號流圖 -正文

  藉助拓撲圖形求線性代數方程組解的一種方法。在1953年由S.J.梅森提出,故又稱梅森圖。這一方法能將各有關變數的因果關係在圖中明顯地表示出來,常用於分析線性系統,例如求它們的傳遞函數。
  基本概念  設有一方程式

信號流圖     (1)

對應於方程中每一變數(已知的或未知的),在圖中信號流圖設一節點,並賦予此節點一權值,它等於該節點所對應的變數值,並以此變數為所對應的節點的名稱。對應於x1的式子中的bx2項,在圖中引一支路由x2指向x1,並賦予此支路以一權值,它等於x1的表達式中x2項的係數b。這種係數稱為支路增益或傳輸。對式(1)中的每一式、每一項都按上述步驟設置節點、支路,就得到圖1所示的信號流圖。在此圖中規定一節點所代表的變數值等於所有指向(或稱流入)該節點的支路權值與其始端節點的變數的乘積之和,即

信號流圖

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按照此規則,在圖1中節點x1x2寫其方程就得到原給定的方程。由圖可見,沒有支路指向它的節點xO為源點,源點的變數常代表方程所描述的系統輸入,是獨立變數;變數x1x2受其他變數的影響,是非獨立變數;沒有任何支路離開的節點稱為收點,收點的變數一般當作輸出變數。如果能建立某些方法簡化信號流圖,使之變成只有源點和收點,例如將圖1化成圖2那樣,求出gh值,便得到了方程的解答以及有關的量,如總的傳輸比、增益等。

信號流圖信號流圖

  上面所述由給定線性方程求作信號流圖的方法可推廣到一般情形。設有以矩陣表示的方程組

AxBxs      (2)

式中An×n矩陣,xn維輸出矢量,Bn×m矩陣,xsm維輸入矢量,xs=(xs1,…,xsm)。式(2)總可以寫成下列與之等價的方程式

x=(1-A)xBxs    (3)

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就可以作出其信號流圖。 圖中由xjxi(ij)的支路的權即等於αij;由xixi的支路稱為自迴路,它的權為1-αii;由xsjxi的支路的權值等於bij。如果A為非奇異矩陣,方程(2)有惟一解,這解也可以藉助信號流圖求出來。
  信號流圖化簡  通過消去信號流圖中的一些節點或其他方法,可以將信號流圖化簡。圖3中列舉了若干簡化信號流圖的法則。左欄是信號流圖中的一個局部,它可以變換成右欄中相應的信號流圖。

信號流圖信號流圖

  梅森公式  利用上述方法可以將信號流圖逐步化簡。但對較複雜的信號流圖,這種步驟將會多而且繁。梅森提出了一個由信號流圖求其增益的一般公式,稱為梅森公式。公式的含義實質上是對所涉及的方程式解答的行列式的展開式作出圖形上的解釋。
  由於信號流圖對應於線性代數方程,其解可寫作

信號流圖

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式中Tji是輸入xsi到輸出xi的總增益(相當於控制理論中的傳遞函數,電路理論中的網路函數)。由線性代數方程的理論知道,Tji可由對應的方程式的係數行列式和主子式求出。根據疊加原理,只須討論有一個輸入xsi的情況。將xsiTji分別簡記為xsTj,則有

xj=Tjxs    (j=1,2,…,n)

計算Tj的梅森公式如下

信號流圖    (4)

式中Pk等於由xsxj的第K條道路的增益;△=1-(全部迴路增益之和)+(全部2重回路增益)。說明上式要用到下面的術語:①道路,即有向道路;②道路增益,即道路中各支路增益的乘積,有時也用它作為道路的名稱;③迴路(反饋迴路),即有向迴路;④非切觸迴路,即任意二迴路間沒有公共節點的若干個迴路;⑤n重回路,是n個非切觸迴路;⑥迴路增益L,即迴路中的各支路增益的乘積,有時也用它作為迴路的名稱;⑦n重回路增益,即n重回路的各迴路的增益的乘積,在式(4)中

Pk=由xsxj的第K條道路的增益

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△=1-(全部迴路增益之和)+(全部2重回路增益之和)-(全部3重回路增益之和)+…,

△稱作圖的行列式。△k等於把△中與道路Pk上各節點相關聯的諸項去掉后所得的結果,即去掉△中與Pk相切觸的有關項。
  線性時不變系統的信號流圖表示與控制系統中最常用的框圖表示非常相似,由系統的框圖作相應的信號流圖是容易的。電路方程也可以用信號流圖來表示。
  梅森公式給出了由信號流圖求傳輸比的拓撲公式,對於簡單的系統,可以直觀地求出傳輸比。對於複雜的系統,需要有系統的演算法去計算式(4)中的各項。象網路拓撲分析方法那樣,它需要很大的計算工作量。梅森公式還有一個有價值的特點,那就是它可給出傳輸比的表達式,這對於推導符號函數是有用的。

 

3 信號流圖 -配圖

 

4 信號流圖 -相關連接

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