余式定理

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更新時間: 2013-09-04

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數學定理。整係數多項式f(x)除以(x-a)商為q(x),余式為r,則f(x)=(x-a)q(x)+r.

  整係數多項式f(x)除以(x-a)商為q(x),余式為r,則f(x)=(x-a)q(x)+r.
  如果多項式f(a)=0,那麼多項式f(x)必定含有因式(x-a)。反過來,如果f(x)含有因式(x-a),那麼,f(a)=0.
余式定理 -概念

  當一個多項式 f(x) 除以( x – a) 時, 所得的 餘數等於 f(a).
  例如:當 f(x) = x^2; + x + 2 除以 (x – 1) 時,
  餘數 = f(1) = 1^2; + 1 + 2 = 4
余式定理 -推論

  當一個多項式 f(x) 除以 mx – n 時,所得的餘數 等於 f(n/m).
  例如:求當 9x^2; + 6x – 7 除以 3x + 1 時所得的餘數.
  設 f(x) = 9x^2; + 6x – 7.
  = 1 – 2 – 7=-8
余式定理 -例題

  全國港澳台華僑聯合招生考試題型
  設f(x)以x-1除之,余式為8,以x的平方+x+1除之的余式為7x+16,求x的三次方-1除之的余式為多少?
  解:根據題意,得f(1)=8,f(x)=(x^2+x+1)g(x)+7x+16,
  則x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
  f(x)=(x^3-1)g(x)=(x-1)(x^2+x+1)g(x)+a(x^2+x+1)+7x+16=3a+7+16=8
  a=-5,所以余式為-5x^2+2x+11

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