代數簇

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更新時間: 2013-09-05

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代數幾何學上,代數簇是多項式集合的公共零點解的集合。代數簇是經典(某種程度上也是現代)代數幾何的中心研究對象。 術語簇(variety)取自拉丁語族中詞源(cognate of word)的概念,有基於「同源」而「變形」之意。 歷史上,代數基本定理建立了代數和幾何之間的一個聯繫,它表明在複數域上的單變數的多項式由它的根的集合決定,而根集合是內在的幾何對象。在此基礎上,希爾伯特零點定理提供了多項式環的理想和仿射空間子集的基本對應。利用零點定理和相關結果,我們能夠用代數術語捕捉簇的幾何概念,也能夠用幾何來承載環論中的問題。

 

代數簇 -概述

代數簇是代數幾何里最基本的研究對象。 通俗的講代數簇就是有若干多元多項式方程定義的公共零點集。如果代數簇恰好可以用一個方程定義,就稱為超曲面。

最簡單的代數簇,就是
d次平面代數曲線: 由方程 f(x,y,z)=0定義, 此處f(x,y,z)是齊次的三元d次多項式。

d=1,2 的曲線同構與射影直線;
d=3 就是橢圓曲線,其標準定義方程為:z*y^2=x*(x-z)*(x-λ*z),此處λ是參數。
d=4就是虧格3曲線。

更一般的,我們有光滑曲線的虧格公式:g=(d-1)(d-2)/2,此處g是曲線虧格。

 

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數學系

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