代數穩定判據

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更新時間: 2013-09-05

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根據系統特徵多項式的係數直接判斷系統穩定性的判據。系統的特徵多項式就是系統傳遞函數的分母多項式,它是復變數s的一個代數多項式,使這一多項式為零而求得的s值稱為特徵多項式的根。

代數穩定判據 -簡介
根據系統特徵多項式的係數直接判斷系統穩定性的判據。系統的特徵多項式就是系統傳遞函數的分母多項式,它是復變數s的一個代數多項式,使這一多項式為零而求得的s值稱為特徵多項式的根。代數穩定判據只適用於線性定常系統(見線性系統、定常系統)且其特徵多項式能給出的情況。線性定常系統穩定的充分必要條件,是其特徵多項式的根均具有負實部,亦即均位於不包含虛軸的左半s複數平面內。代數穩定判據的優點是可以避免求根的複雜過程,直接根據多項式的係數的一些代數運算,來判定系統是否滿足上述穩定條件。
必要條件  若系統的特徵多項式為

代數穩定判據

其中a0a1,…,an均為實數,則系統為穩定的必要條件是係數a0a1,…,an均為正數。
勞思判據  1875年英國數學家E.J.勞思所建立,根據D(s)的係數組成如下的勞思表。
代數穩定判據代數穩定判據
  系統為穩定的充分必要條件是勞思表的第一列元素C11C12C1nC1n+1均為正數。
胡爾維茨判據  1895年德國數學家A.胡爾維茨所建立。根據D(s)的係數組成如下的n×n胡爾維茨矩陣:

代數穩定判據

其中下標指數大於n的元均用零代替。系統為穩定的充分必要條件是矩陣H的一切順序主子式和a0均為正數,即0=a0>0,1=a1>0,2=a1a2-a0a3>0,…,n=|H|>0。其中│H│表示矩陣H的行列式。理論研究表明,胡爾維茨判據實質上與勞思判據是完全等價的。
代數穩定判據 -應用 
除了判斷系統的穩定性,代數穩定判據尚可用於:①確定不穩定系統特徵多項式的正實部根的數目:它等於勞思表中第一列的各係數符號的改變次數。②判斷系統是否具有所期望的衰減度:設期望衰減度為e-αt(α>0);則取s=λ-α並代入D(s),可得出以λ為待定量的新多項式β(λ)。對β(λ)運用代數穩定判據,如果穩定就意味著系統具有期望的衰減度,否則就不具有期望衰減度。③建立參數穩定域:對D(s)中包含的一個或幾個可變動係數,通過應用代數穩定判據可確定出系統為穩定時的係數範圍,由此可構成參數穩定域。

 

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