代數曲線

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更新時間: 2013-09-05

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代數曲線,又稱緊黎曼面。淺出地介紹了正則化定理,Riemann-Roch定理,Abel定理等代數曲線論的重要結果,以及這些定理的應用和重要的幾何事實。虧格為2的黎曼曲面的超橢圓的,而虧格g的超橢圓黎曼曲面可實現為2g+2次平面曲線,這樣就是六次曲線了,難道沒有虧格為2就不能緊緻嗎代數曲線是代數 幾何學中研究得最多的對象.在下文中,代數曲線是指代 數閉域上的不可約代數曲線. 最簡單也是最清楚的是平面仿射代數曲線.它是 仿射平面A;內滿足方程f(x,y)=o的點集,這裡f(x, y)是係數在代數閉域k里的多項式.k上不可約代數曲 線的有理函數.

代數曲線 -簡介
代數曲線,又稱緊黎曼面。 它是緊的2維定向實流形,也就是復的一維流形。    代數曲線是代數幾何中最簡單的一類研究對象。   

每條代數曲線都自帶了一個數值不變數---虧格g.    從實流形角度看,虧格就是其上「洞」的個數。

代數曲線 -按照虧格的大小,我們可以將代數曲線分類
比如:
g=0 就成為射影直線;
g=1 稱為橢圓曲線;
g=2 超橢圓曲線。。。。。。等等


代數曲線 -具有同樣虧格的曲線組成的集合成為曲線的模空間
比如
g=0的曲線模空間是由一個點組成;
g=1的曲線模空間是上半平面。。。。。。等等
曲線的模空間是代數幾何里最重要的一類幾何對象。


代數曲線 -我們可以考慮定義在代數曲線上的半純函數
半純函數的零點和極點的集合是由有限個點組成。 我們把這個集合稱為主除子。 更一般的,我們可以定義除子的概念,這裡不再詳述。

代數曲線 -除子概念是曲線論里最基本的概念
與其相關的一個重要結果就是所謂的Riemann-Roch 定理。 這個定理把分析和拓撲巧妙的聯繫起來,揭示出兩者間的深刻關係。


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