代數擴張

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更新時間: 2013-09-04

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在抽象代數中,一個域擴張(通常記作)被稱作代數擴張,當且僅當每個的元素都是在上代數的,即:滿足一個係數佈於的非零多項式。反之則稱超越擴張。

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1 代數擴張 -簡介

在抽象代數中,一個域擴張(通常記作L / K)被稱作代數擴張,當且僅當每個L的元素都是在K上代數的,即:滿足一個係數佈於K的非零多項式。反之則稱超越擴張。最簡單的代數擴張包括 、。

2 代數擴張 -代數擴張與多項式的根

在一個代數擴張L / K中,L里的每個元素α都是某個多項式  的根;這些多項式中次數最低者稱作α的最小多項式(通常要求領導係數等於一,以保證唯一性)。最小多項式總是不可約多項式。
若  不可約,則商環L: = K[X] / (f)是K的一個域擴張,[L:K] = deg(f),而且變元X的象是在f在L中的一個根,其最小多項式正是f。通過這種構造,我們可抽象地加入某個多項式的根。例如不外就是複數域。
當在L中分解成一次因子的積,則稱f在L中分裂。根據上述構造,總是可以找到一個夠大的代數擴張K' / K使得 f 分裂;K'里滿足此性質的最小子擴張稱作f的分裂域,f 的任兩個分裂域至多差一個K上的同構(即:一個限制在K上為恆等映射的環同構)。

3 代數擴張 -正規擴張

一個代數擴張被稱作正規擴張,當且僅當它滿足下述三個等價條件之一:

固定代數閉包,任何上的(即在上是恆等映射的)域嵌入  皆有 。
存在一族在上分裂的多項式,使得由它們的根與  生成。
任何多項式 若在里有根,則在里分裂。

4 代數擴張 -可分擴張

設為代數擴張,如果的最小多項式沒有重根,則稱可分(重根的存在性與域擴張的選取無關,可分性等價於,這可以直接在中計算)。所有可分元素形成一個域,稱作可分次數。若則稱是可分擴張。
當是有限擴張時,定義不可分次數。當特徵為零時,任何代數擴張都是可分的;任何有限域的擴張也都是可分的。

5 代數擴張 -伽羅瓦擴張

一個正規而且可分的代數擴張稱作伽羅瓦擴張,此時將在上的自同構群記為,稱作的伽羅瓦群。就現代的觀點,伽羅瓦理論研究的乃是與的子群的對應關係,此對應可用伽羅瓦連接抽象地概括。
 當伽羅瓦擴張  的伽羅瓦群是阿貝爾群時,此擴張稱作是阿貝爾擴張。類域論為數域與局部域的阿貝爾擴張提供了精細的描述。

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