代數基本定理

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更新時間: 2013-09-05

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代數基本定理在代數乃至整個數學中起著基礎作用。 據說,關於代數學基本定理的證明,現有200多種證法。 迄今為止,該定理尚無純代數方法的證明。代數學基本定理)任何復係數一元n次多項式 方程在複數域上至少有一根(n≥1) 由此推出,n次復係數多項式方程在複數域內有且只有n個根(重根按重數計算).

代數基本定理 -概念
(代數學基本定理)任何復係數一元
n次多項式 方程在複數域上至少有一根(n≥1)
由此推出,n次復係數多項式方程在複數域內有且只有n個根(重根按重數計算).
代數基本定理 -證明歷史
代數基本定理在代數乃至整個數學中起著基礎作用。 據說,關於代數學基本定理的證明,現有200多種證法。 迄今為止,該定理尚無純代數方法的證明。大數學家 J.P. 塞爾 曾經指出:代數基本定理的所有證明本質上都是拓撲的。 他在數學名著《從微分觀點看拓撲》一書中給了一個幾何直觀的證明,但是其中用到了和臨界點測度有關的sard定理。 複變函數論中,對代數基本定理的證明是相當優美的,其中用到了很多經典的複變函數的理論結果。
 
該定理的第一個證明是法國數學家達朗貝爾給出的,但證明不完整。接著,歐拉也給出了一個證明,但也有缺陷,拉格朗日於1772年又重新證明了該定理,后經高斯分析,證明仍然很不嚴格的。
 
代數基本定理的第一個嚴格證明通常認為是高斯給出的(1799年在哥廷根大學的博士論文),基本思想如下:
 
設f(z)為n次實係數多項式,記z=x+yi(x、y∈R),考慮方根:?

f(x+yi)=u(x、y)+v(x、y)i=0?
 
即u(x、y)=0與v(x、y)=0?
 
這裡u(x、y)=0 與v(x、y)=0分別表示oxy坐標平面上的兩條曲線C1、C2,於是通過對曲線作定性的研究,他證明了這兩條曲線必有一個交點z0=a+bi,從而得出u(a、b)=v(a、b)=0,即f(a+bi)=0,因此z0便是方程f(z)=0的一個根,這個論證具有高度的創造性,但從現代的標準看依然是不嚴格的,因為他依靠了曲線的圖形,證明它們必然相交,而這些圖形是比較複雜,正中隱含了很多需要驗證的拓撲結論等等。
 
高斯後來又給出了另外三個證法,其中第四個證法是他71歲公布的,並且在這個證明中他允許多項式的係數是複數。
代數基本定理 -在複變函數論中的證明方法
在複變函數論中, 有相當優美的傳統證明方法。
 
設f(z)是n次多項式。 如果f(z)=0沒有根, 那麼g(z)=1/f(z)是複平面上全純函數。由於f(z)是多項式,所以可證g(z)是有界的。 由劉維爾定理,一個複平面上的全純有界函數必為常數。 從而g是常值函數,亦即f是常值函數, 矛盾!故得證代數基本定理。
 
此定理也可以用關於留數公式的儒歇定理來證。 但本質上都是拓撲的。
代數基本定理 -簡介
關於多項式根的定理,即一個次數不小於1的復係數多項式ƒ(x)在複數域內有一根。由此推出,一個n(≥1)次復係數多項式ƒ(x)在複數域內恰有n個根(重根按重數計算)。這條定理形式上是代數的,但是它的證明卻離不開複數域的解析性質。C.F.高斯於1799年首先給出這個定理的一個證明。
20世紀以前,代數研究的對象,如矩陣、二次型和各種超複數系都是建立在實數域或複數域之上的,當時代數基本定理起著核心的作用。20世紀以來,隨著代數學的進一步發展,抽象代數結構,如群、環、模、域相繼出現,於是代數基本定理逐漸失去了它的原有的地位。
代替代數基本定理的是根的存在定理:設F是任一域。ƒx)是多項式環Fx】中任一個不可約多項式,則存在F的一個擴域K,使得ƒx)在K內有一根。由此得到分裂域的存在定理:對於任一域F和任一nn≥1)次多項式ƒ(x)∈Fx】,則存在F的一個代數擴域K使得ƒ(x)在K內完全分解ƒ(x)=(x-α1)(x-α2)…(x-αn),而且K可由添加α1α2,…,αnF上而得到。更進一步,最後可得到F上代數閉包的存在定理:F上存在一個代數擴張Ω使得Ωx】內每個次數不小於1的多項式在Ω內完全分解。Ω稱為F上的代數閉包。而且F上任何兩個代數閉包是F同構的,因而在同構意義下ΩF惟一決定。Ω本身是一個代數閉域。複數域就是一個代數閉域。現在Ω正起著複數域在歷史上所起過的作用。
代數基本定理 -概述
任何n(n>0)次多項式在複數域中至少有一個根。
一元一次方程有且只有一個根,一元二次方程在複數域中有且只有兩個根,因此,人們自然研究一元n次方程在複數域中有幾個根。此外,當初的積分運算中採用部分分式法也引起了與此有關的問題:是不是任何一個實係數多項式都能分解成一次因式的積,或分解成實係數的一次因式和二次因式的積?這樣的分解,關鍵證明代數基本定理。
代數基本定理的第一個證明是法國數學家達朗貝爾給出的,但他的證明是首先默認了數學分析中一條明顯的引理:定義在有限閉區間上的連續函數一定在某一點取得最小值,而這個引理在達朗貝爾的研究100年以後才得到證明。接著,歐拉也給出了一個證明,但有缺陷,拉格朗日於1772年又重新證明了代數基本定理,后經高斯分析,發現他的證法中把實數的尚未證明其真實性的各種性質應用了,所以該證明仍然是很不嚴格的。
1799年,高斯在他的博士論文中第一個嚴格證明了代數基本定理,其基本思路如下:設f (z)為n次實係數多項式,記z = x + yi (x, y為實數),考察方程:f (x + yi) = u (x, y) + v (x, y)i = 0
即u (x, y) = 0與v (x, y) = 0分別表示oxy坐標平面上的兩條曲線,於是通過對曲線作定性的研究,他證明了這兩條曲線必有一個交點,從而得出
u (a, b) = v (a, b) = 0
即f (a + bi) = 0,故此便是代數方程f (z)的一個根。這個論證具有高度的創造性,但從現代的標準來看,依然是不嚴格的,因為他依靠了曲線的圖形,證明它們必然相交,而這些圖形是比較複雜的。
高斯後來又給出了另外三個證明方法,第二個證法中,不依靠幾何的論據,但是卻應用了當時未經證明的命題:設多項式p (x) 在x的兩個不同的值之間沒有零點,則它在這兩個值處不可能改變符號。高斯在71歲時還公布了第四個證法,在這個證法中,他容許多項式的係數是複數。應指出,在許多證法中,這個定理都不是在最一般的情況下證明的,都是假定了多項式中的文字係數表示實數,但整個定理卻包括復係數的情況。
複變函數論發展后,代數基本定理已作為其他定理的推論。代數基本定理在代數乃至整個數學中起著基礎作用。 
代數基本定理 -書籍介紹
基本資料
《代數基本定理》
《代數基本定理》
 

作 者: (美)本傑明,(美)傑哈德 著
出 版 社: 清華大學出版社
出版時間: 2009-11-1
開 本: 16開
I S B N : 9787302214793
 定價:¥34.0 

內容簡介
 
本書對數學中最重要的定理——代數基本定理給出了六種證明,方法涉及到分析、代數與拓撲等數學分支。全書以一個問題為主線,縱橫數學的幾乎所有領域,結構嚴謹、文筆流暢、淺顯易懂,適合高年級大學生、研究生自學和討論,特別適合於用作短學期教材或數學選修類課程教材。 

目錄
 
1 Introduction and Historical Remarks Complex Numbers
2.1 Fields and the Real Field
2.2 The Complex Number Field
2.3 Geometrical Representation of Complex Numbers
2.4 Polar Form and Euler's Identity
2.5 DeMoivre's Theorem for Powers and Roots Exercises
3 Polynomials and Complex Polynomials
3.1 The King of Polynomials over a Field
3.2 Divisibility and Unique Factorization of Polynomials
3.3 Roots of Polynomials and Factorization
3.4 Real and Complex Polynomials
3.5 The Fundamental Theorem of Algebra: Proof One
3.6 Some Consequences of the Fundamental Theorem Exercises
4 Complex Analysis and Analytic Functions
4.1 Complex Functions and Analyticity
5 Complex Integration and Cauchy's Theorem
6 Fields and Field Extensions
7 Galois Theory
8 Topology and Topological Spaces
Algebraic Topology and the Final Proof
Appendix A: A Version of Gauss's Original Proof
Appendix B: Cauchy's Theorem Revisited
Appendix C: Three Additional Complex Analytic Proofs of the Fundamental Theorem of Algebra
Appendix D: Two More Topological Proofs of the Fundamental Theorem of Algebra
Bibliography and References
Index 

代數基本定理 -參考書目 
范·德·瓦爾登著,丁石孫、曾肯成、郝炳新等譯:《代數學》,第1冊,科學出版社,北京,1963。(B.L.vander Waerden,Algebra,Vol.1,Springer-Verlag,Berlin,1955.)

 

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