互斥事件

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更新時間: 2013-09-04

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不可能同時發生的兩個事件叫做互斥事件。

互斥事件 -簡介
互斥事件互斥事件

互斥事件一定是相互依賴,因而是不獨立的。然而相互依賴的事件則不一定是互斥的,以氣象為例,用事件A表示下雨,事件B表示無雨,事件C表示颳風,顯然時間A與B是互斥的,因而也不是獨立的。事件A與C雖然不互斥,但通常也是不獨立而是有依賴關係的。反過來不互斥事件,可能是獨立的,也可能是不獨立的。關於不互斥事件相互獨立的例子,可用有放回抽樣來說明,A表示第一次抽到是正品,B表示第二次抽到也是正品。這兩事件並不互斥,但卻是獨立的。

一般地,如果事件A1,A2…,An中的任何兩個都是互斥的,那麼就說A1,A2…,An彼此互斥。從集合的角度看, n個事件彼此互斥,是指各個事件所含的結果組成的集合彼此不相交。

互斥事件 -公式的應用

P(A+B)=P(A)+P(B)   

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a是A的對立事件,   

P(A)=1-P(a)   

P(A)+P(B)不一定等於1 

互斥事件 -典型例題

 例1. 在10000個有獎儲蓄的獎券中,設有1個一等獎,5個二等獎,10個三等獎,從中買一張獎券,求中獎的概率。

例2. 拋擲一均勻骰子,事件A表示「點數是奇數」,事件B表示「點數不超過3」,求P(A+B)。

例3. 設在一盒中有2個白球,3個黑球,其大小相同,現有放回地摸取三次,每次摸出一個球,求恰有一次摸到白球的概率。

例4. 電燈泡使用時間在1000小時以上的概率為0.2,求3個燈泡在使用了1000個小時壞了1個的概率。

例5. 如圖電路圖中A、B、C正常工作的概率分別為0.8、0.9、0.9,求圖一、圖二分別正常工作的概率P1、P2。

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互斥事件 -要點精析

1、互斥事件定義中事件A與事件B不可能同時發生是指若事件A發生,事件B就不發生或者事件B發生,事件A就不發生。如,粉筆盒裡有3支紅粉筆,2支綠粉筆,1支黃粉筆,現從中任取1支,記事件A為取得紅粉筆,記事件B為取得綠粉筆,則A與B不能同時發生,即A與B是互斥事件。

2、對立事件的定義中的事件A與B不能同時發生,且事件A與B中「必有一個發生」是指事件A不發生,事件B就一定發生或者事件A發生,事件B就不發生。如,投擲一枚硬幣,事件A為正面向上,事件B為反面向上,則事件A與事件B必有一個發生且只有一個發生。所以,事件A與B是對立事件,但1中的事件A與B就不是對立事件,因為事件A與B可能都不發生。事件A的對立事件通常記作A。

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3、如果事件A與B互斥,那麼事件A+B發生(即A、B中有一個發生)的概率,等於事件A、B分別發生的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B),此公式可以由特殊情形中的既是互斥事件又是等可能性事件推導得到。一般地,如果事件A1、A2、…、An彼此互斥,那麼事件A1+A2+…+An發生(即A1、A2、…、An中有一個發生)的概率,等於這n個事件分別發生的概率的和,即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。

4、對立事件是一種特殊的互斥事件。特殊有兩點:其一,事件個數特殊(只能是兩個事件);其二,發生情況特殊(有且只有一個發生)。若A與B是對立事件,則A與B互斥且A+B為必然事件,故A+B發生的概率為1,即P(A+B)=P(A)+P(B)=1。

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5、從集合的角度來看,事件A、B互斥,是指事件A所含的結果組成的集合與事件B所含的結果組成的集合的交集為空集,則有P(A+B)=card(A+B)/card(I)=card(A)+card(B)/card(I)=card(A)/card(I)+card(B)/card(I)=P(A)+P(B);事件A與B對立,是指事件B所含的結果組成的集合,是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集,即A∩B=Φ ,且A∪B=I。

6、公式P(A+)=P(A)+P()=1的常用變形公式為P(A)=1-P()或P()=1-P(A),在解題中會經常用到。

互斥事件 -方法指引

基本方法是將較複雜事件表示為若干兩兩互斥事件的和,利用概率加法公式計算互斥事件和的概率,或當一事件的對立事件的概率易求時,將該事件概率的計算轉化為對立事件的概率,簡化計算。解題時應注意互斥事件或對立事件的條件是否滿足。在解等可能性事件及後面將要學習的相互獨立事件的概率問題中有廣泛的應用。

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互斥事件 -特別提醒

1、要分清「互斥事件」與「等可能性事件」是兩個不同的概念。在一次試驗中,如果若干個隨機事件中每一事件產生的可能性是完全相同的,則稱這些事件為等可能性事件,而互斥事件是指不可能同時發生的兩個或多個事件。等可能性事件可能也是互斥事件,互斥事件也可能是等可能性事件。如,從分別標有1,2,…,6的6個相同的小球中,任取一球,「取得1號球」,「取得2號球」,…,「取得6號球」,它們既是彼此互斥事件,又是等可能性事件。

2、注意「對立事件」與「互斥事件」具有包含關係,「互斥事件」中的事件個數可以是兩個或多個,而「對立事件」只是針對兩個事件而言的,兩個事件對立是這兩個事件互斥的充分條件,但不是必要條件。

3、解互斥事件的概率時,要注意兩點:
(1)仔細審題,明確題中的事件是否為互斥事件,要結合題意分析清楚事件互斥的原因;

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(2)要注意所求的事件,是否是幾個彼此互斥事件的和。

如果不符合以上兩點,就不能應用互斥事件和的概率公式解題,否則應將事件重新定義。

4、要靈活應有公式P(A+)=P(A)+P()=1的變形P(A)=1-P()或P()=1-P(A)。當直接求某一事件的概率較為複雜時,應退一步求其對立事件的概率,常常可以收到意想不到的效果。

互斥事件 -應用

例1.某射手在一次射擊訓練中,射中10環、9環、8環的概率分別為0.24,0.28,0.19,計算這個射手在一次射擊中:

(1)射中10 環或 9 環的概率。(2)不夠 8 環的概率。

解:(1)P=0.24+0.28=0.52;  (2)P=1-(0.24+0.28+0.19)=0.29

例2.班級聯歡時,主持人擬出了以下一些節目:跳雙人舞、獨唱、朗誦等,指定3個男生和2個女生來參與,把5個人編號為1,2,3,4,5,其中1,2,3表示男生,4,5表示女生.將每個人的號分別寫在5張相同的卡片上,並放入一個箱子中充分混和,每次從中隨機地取出一張卡片,取出誰的編號誰就參與表演節目.

1)為了取出2人來表演雙人舞,連續抽取2張卡片,求取出的2人不全是男生的概率.

2)為了取出2人分別表演獨唱和朗誦,抽取並觀察第一張卡片后,又放回箱子中,充分混合后再從中抽取第二張卡片,求:

i)獨唱和朗誦由同一個人表演的概率;ii)取出的2個不全是男生的概率.

例3.袋中裝有紅、黃、白3種顏色的球各1隻,從中每次任取1隻,有放回地抽取3次,求:

(1) 3隻全是紅球的概率,(2) 3隻顏色全相同的概率,(3) 3隻顏色不全相同的概率。

解:有放回地抽取3次,所有不同的抽取結果總數為33,3隻全是紅球的概率為3隻顏色全相同的概率為 
「3隻顏色不全相同」的對立事件為「三隻顏色全相同」.故「3隻顏色不全相同」的概率為

「3隻顏色全不相同」的事件可以分成6個互斥事件,則其概率為6÷33= 
若:紅球3個,黃球和白球各兩個,其結果又分別如何?

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