二項式定理

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更新時間: 2013-07-25

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二項式定理,又稱牛頓二項式定理,由艾薩克·牛頓於1664、1665年間提出。

二項式定理 -由來

二項式定理﹝Binomial Theorem﹞是指(a+b)^n在n為正整數時的展開式。

二項式定理二項式定理

古時候的中國、埃及、巴比倫、印度的勞動人民,通過了以下的幾何圖形,認識了這個公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。它是公式(a+b)^n的特殊情形。這公式在科學上很有用。而在初中我們學到怎樣算(a+b)^n,當n是較小的正整數。如: 
n=1,我們有(a+b)^1=a+b
n=2,我們有(a+b)^2=(a+b) (a+b)=a(a+b)+b(a+b)
=a^2+2ab+b^2
n=3,我們有(a+b)^3=(a+b) (a+b)^2=a(a^2+2ab+b^2)+b(a^2+2ab+b^2)
=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
是否有較快的方法,寫下(a+b)^n的展開式呢?
有的,請看底下的方法,這方法的原理和上面的展開方法是一樣的,但容易看出來:
(a+b)^n的係數表為:
1
1    1
1     2     1
1     3     3     1
1     4     6     4     1
1     5     10   10   5     1
1     6     15   20   15    6    1
二項式定理二項式定理

……
這個三角形,在中國稱為「賈憲三角」 ,一般認為是北宋數學家賈憲所首創。它記載於楊輝的《詳解九章演算法》(1261)之中,「開方作法本源,出《釋鎖算書》,賈憲用此術。」 我們對賈憲的生平知道的不多,而《釋鎖算書》早已失傳。只知道他是北宋時楚衍(1022—1053)的學生。
除了楊輝的書有這個賈憲三角形,另外一本元朝朱世傑的書,出版於1303年的《四元玉鑒》也有這個賈憲三角形的圖。
在阿拉伯數學家卡西的著作《算術之鑰》 (1427)中也給出了一個二項式定理係數表,他所用的計算方法與賈憲的完全相同。
在歐洲,德國數學家阿皮安努斯在他1527年出版的算術書的封面上刻有此圖。
但在歐洲,這個三角形一般卻稱之為「帕斯卡三角形」 ,因為帕斯卡在1654年也發現了這個結果。
1665年,剛好22歲的牛頓在大學畢業前夕把二項式定理推廣到n為分數與負數的情形,並給出了展開式。
(a+b)^n=a^n+ (a^(n-1))b+ (a^(n-2))b^2+…+ a(b^( n-1))+b^n
二項式定理在組合理論、開高次方、高階等差數列求和,以及差分法中有廣泛的應用,是研究級數論、函數論、數學分析、方程理論的有力工具,對於微積分的充分發展更是必不可少的一步。
二項式定理展開二項式定理展開
 
 
利用二項式定理開方 開立方公式
  設A = X^3,求X.稱為開立方。 開立方有一個標準的公式:
  X(n+1)=Xn+(A/X^2-Xn)1/3 (n,n+1是下角標)
  例如,A=5,,即求
  5介於1的3次方;至2的3次方;之間(1的3次方=1,2的3次方=8)
  初始值X0可以取1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,1.9,都可以。例如我們取X0 = 1.9按照公式:
  第一步:X1=1.9+(5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7。
  即5/1.9×1.9=1.3850416,1.3850416-1.9=-0.5149584,-0.5149584×1/3=-0.1716528,1.9+(-0.1716528)=1.7。即取2位數值,,即1.7。
  第二步:X2=1.7+(5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71。
  即5/1.7×1.7=1.73010,1.73-1.7=0.03,0.03×1/3=0.01,1.7+0.01=1.71。取3位數,比前面多取一位數。
  第三步:X3=1.71+(5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709.
  第四步:X4=1.709+(5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099
  這種方法可以自動調節,第一步與第三步取值偏大,但是計算出來以後輸出值會自動轉小;第二步,第四步輸入值
  偏小,輸出值自動轉大。即5=1.7099^3;
  當然初始值X0也可以取1.1,1.2,1.3,。。。1.8,1.9中的任何一個,都是X1 = 1.7 > 。當然,我們在實際中初始值最好採用中間值,即1.5。 1.5+(5/1.5²-1.5)1/3=1.7。
  如果用這個公式開平方,只需將3改成2,2改成1。即
  X(n + 1) = Xn + (A / Xn ? Xn)1 / 2.
   例如,A=5:
  5介於2的平方至3的平方;之間。我們取初始值2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9都可以,我們最好取 中間值2.5。 第一步:2.5+(5/2.5-2.5)1/2=2.2;
  即5/2.5=2,2-2.5=-0.5,-0.5×1/2=-0.25,2.5+(-0.25)=2.25,取2位數2.2。
  第二步:2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23;
  即5/2.2=2.272,2.272-2.2=-0.072,-0.072×1/2=-0.036,2.2+0.036=2.23。取3位數。
  第三步:2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。
  即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.
  每一步多取一位數。這個方法又叫反饋開方,即使你輸入一個錯誤的數值,也沒有關係,輸出值會自動調節,接近準確值。
  A=(X±Y)^n=展開。帶入公式就是開方公式。X(n+1)=Xn+(A/X^(k-1)-Xn)1/k=Xn-f(x)/f『(x)。
  f'(x)=kx^(K-1);f(X)=X^K-A。 即牛頓切線法
   就是在開方過程中把牛頓二項式定理轉換成為牛頓切線法。
二項式定理 -參考資料

http://www.zhounan.com/ShuXue/UploadFiles_2161/200504/20050419232212510.doc

http://www.fxzx.fp.net.cn/teacher/jhw/xuexizhidao/zhishibeijing/gaoer-tuozhan-3-01.doc

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