二項式分佈

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更新時間: 2013-07-16

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二項式分佈所屬現代詞,指的是若某事件概率為p,現重複試驗n次,該事件發生k次的概率為:P=C(k,n)×p^k×(1-p)^(n-k).C(k,n)表示組合數,即從n個事物中拿出k個的方法數。

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1 二項式分佈 -二項定義

  
中學數學教科書(蘇教版)
一個事件必然出現,就說它100%要出現。100%=1,所以100%出現的含義就是出現的概率P=1。 即必然事件的出現概率為1。
  若某事件概率為p,現重複試驗n次,該事件發生k次的概率為:P=C(k,n)×p^k×(1-p)^(n-k).C(k,n)表示組合數,即從n個事物中拿出k個的方法數。

2 二項式分佈 -舉例說明

  如果擲一枚硬幣,正面向上的結局的概率為0.5 。反面向上的結局的概率也是0.5 。那麼出現正面向上事件或者反面向上事件的概率就是0.5+0.5=1 ,即二者必居其一。
  如果擲兩次硬幣,根據獨立事件的概率乘法定理那麼兩次都是正面(反面)向上的概率是0.5×0.5=0.25。另外第一個是正第二個是反的出現概率也是 0.5×0.5=0.25。同理第一個反第二個正的出現概率也是0.5×0.5=0.25。於是一正一反的概率是前面兩個情況的和,即 0.25+0.25=2×0.25=0.5 。它們的合計值仍然是1。
  
兩個正面的概率一正一反的概率兩個反面的概率
0.252×0.25=0.50.25

3 二項式分佈 -代數計算

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  注意到代數學中 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, 而在a=0.5,b=0.5時,有 1^2=(0.5+0.5)^2=0.25+2×0.5×0.5+0.25=1。這說明擲兩次硬幣的各個結局的出現概率可以通過對二項式的平方展開而得到。
  順此,對於擲n次硬幣的各種結局的出現概率也可以通過對二項式的n次方的展開而得到。例如n=3時,有(注意0.5×0.5×0.5=0.125) 1^3=(0.5+0.5)^3=0.125+3×0.125+3×0.125+0.125 = 0.125+0.375+0.375+0.125 = 1。
  
3個正面的概率2正1反的概率1正2反的概率3個反面的概率
0.1250.3750.3750.125

4 二項式分佈 -牛頓公式

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  二項式展開的牛頓公式表示為:
  (a+b)^n=a^n + … + [n!/m!(n-m)!][a^(n-m)b^m]+ … + b^n (其中m=1,2,……n-1)。
  即這種類型的問題(如擲多次硬幣)的概率分佈恰好可以用二項式展開的牛頓公式表示。而這也就是為什麼把這種概率分佈類型稱為二項分佈的原因。
  如果a,b並不等於0.5,那麼只要把A事件出現的概率以p代入,把B事件的出現概率以(1-p)代入,以上公式仍然正確,(a+b仍然=1)。所以對於僅有A,B兩個結局的隨機事件,如果A事件出現概率為p,B事件的出現概率為1-p,那麼在n次隨機實驗中A事件出現n-m次、B事件出現m次的情況(對應一種複合事件)的出現概率P應當是(這裡的P是大寫的):
  P=[n!/m!(n-m)!][p^(n-m) (1-p)^m] (其中m=0,1,……,n)
  注意到上面公式的對稱性,它也可以寫為 P=[n!/m!(n-m)!][p^m (1-p)^(n-m)]。它就是所謂二項分佈概型的隨機事件的出現概率公式,也是牛頓二項式展開在變數為對應概率值的情況下的通項。

5 二項式分佈 -二項分佈

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