二階導數

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更新時間: 2013-09-04

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二階導數,是原函數導數的導數,將原函數進行二次求導。一般的,函數y=f(x)的導數y』=f』(x)仍然是x的函數,則y』=f』(x)的導數叫做函數y=f(x)的二階導數。

二階導數 -代數記法

  二階導數記作y『』=d^2y/dx^2即y『』=(y『)』。
  例如:y=x^2的導數為y=2x,二階導數即y=2x的導數為y=2。
二階導數 -幾何意義

  (1)切線斜率變化的速度
  (2)函數的凹凸性(例如加速度的方向總是指向軌跡曲線凹的一側)
  這裡以物理學中的瞬時加速度為例:
  根據定義有a=(v'-v)/Δt=Δv/Δt
  可如果加速度並不是恆定的 某點的加速度表達式就為:
  a=limΔt→0 Δv/Δt=dv/dt(即速度對時間的一階導數)
  又因為v=dx/dt 所以就有
  a=dv/dt=d^2x/dt^2 即元位移對時間的二階導數
  將這種思想應用到函數中 即是數學所謂的二階導數
  f'(x)=dy/dx (f(x)的一階導數)
  f''(x)=d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx (f(x)的二階導數)
二階導數 -相關補充

  二階導數是比較理論的、比較抽象的一個量,它不像一階導數那樣有明顯的幾何意義,因為它表示的是一階導數的變化率。在圖形上,它主要表現函數的凹凸性,直觀的說,函數是向上突起的,還是向下突起的。
二階導數 -應用

  如果一個函數f(x)在某個區間I上有f''(x)(即二階導數)>0恆成立,那麼對於區間I上的任意x,y,總有:
  f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2],如果總有f''(x)<0成立,那麼上式的不等號反向。
  幾何的直觀解釋:如果一個函數f(x)在某個區間I上有f''(x)(即二階導數)>0恆成立,那麼在區間I上f(x)的圖象上的任意兩點連出的一條線段,這兩點之間的函數圖象都在該線段的下方,反之在該線段的上方。

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