主觀概率

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更新時間: 2013-09-05

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主觀概率以概率估計人的個人信念為基礎。主觀概率可以定義為根據確鑿有效的證據對個別事件設計的概率。這裡所說的證據,可以是事件過去的相對頻率的形式,也可以是根據豐富的經驗進行的推測。比如有人說:「陰雲密布,可能要下一場大雨!」這就是關於下雨的可能性的主觀概率。主觀概率具有最大的靈活性,決策者可以根據任何有效的證據並結合自己對情況的感覺對概率進行調整。

主觀概率 -主觀概率和先驗分佈

  subjective Probability and Prior Distribution
  本章主要參考文獻:60,52,上帝怎樣擲骰子
主觀概率 -基本概念

一、概率(probability)

  1. 頻率
  fn(A)==Na/N
  P (A)== fn(A) … 古典概率的定義
  2. Laplace在《概率的理論分析》(1812)中的定義
  P(A)==k/N
  式中,k為A所含基本事件數,
  N為 基本事件總數
  適用條件 1.基本事件有限
  2.每個基本事件等可能
  3.公理化定義
  E是隨機試驗,S是E的樣本空間,對E的每一事件A,對應有確定實數P(A),若滿足:
  ① 非負性:0≤P(A)≤1
  ② 規範性: P(S)=1
  ③可列可加性:對兩兩不相容事件Ak (k=1,2…) (Ai∩ Aj=φ)
  P(∪Ak)=∑P(Ak)
  則稱P(A)為事件A發生的概率
二、主觀概率

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  (subjective probability, likelihood)
  1. 為什麼引入主觀概率
  。有的自然狀態無法重複試驗
  如:明天是否下雨
  新產品銷路如何
  明年國民經濟增長率如何
  能否考上博士生
  。試驗費用過於昂貴、代價過大
  例:洲導彈命中率
  戰爭中對敵方下一步行動的估計
  2.主觀概率定義:合理的信念的測度
  某人對特定事件會發生的可能的度量。
  即他相信(認為)事件將會發生的可能性大小的程度。
  這種相信的程度是一種信念,是主觀的,但又是根據經驗、各方而後知識,對
  客觀情況的了解進行分析、推理、綜合判斷而設定(Assignment)的,與主觀臆測不同。
三、概率的數學定義

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  對非空集Ω,元素ω,即Ω={ω},F是Ω的子集A所構成的σ-域(即Ω∈F;
  若A∈F則A∈F;
  若Ai∈F i=1,2,…則∪Ai∈F)
  若P(A)是定在F上的實值集函數,它滿足
  ① 非負性 P(A)≥0
  ② 規範性 P(Ω)=1
  ③可列可加性
  則稱P(A)為直的(主以或客觀)概率測度,簡稱概率
  ω為基本事件
  A為事件
  三元總體(Ω,F,P)稱為概率空間
  注意:主觀概率和客觀概率(objective probability)有相同的定義
四、主客觀概率的比較

  (一) 基本屬性:
  O:系統的固有的客觀性質,在相同條件下重複試驗時頻經的極限
  S:概率是觀察者而非系統的性質,是觀察者對對系統處於某狀態的信任程度
  (二)拋硬幣:正面向上概率為1/2
  O:只要硬幣均勻,拋法類似,次數足夠多,正面向上的概率就是1/2,這是簡單的
  定義。
  S:這確是定義,DMer認為硬幣是均勻的,正、反面出現的可能性(似然率)相同,1
  /2是個主觀的量。
  (三)下次拋硬幣出現正面的概率是1/2
  O:這種說法不對,不重複試驗就談不上概率
  S:對DMer來說,下次出現正、反是等可能的。但是他不是說硬幣本身是公正的,它可能會有偏差,就他現有知識而言,沒有理由預言一面出現的可能會大於另一面,但多次拋擲的觀察結果可以改變他的信念。
  O、S:下次拋硬幣出現正面還是反面不能確定,但知道:
  要麼是正面,要麼是反面。
主觀概率 -先驗分佈(Prior distribution)及其設定

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  在決策分析中,尚未通過試驗收集狀態信息時所具有的信息叫先驗信息,由先驗信息所確定的概率分佈叫先驗分佈。
  設定先驗分佈是Bayesean分析的需要.
一、設定先驗分佈時的幾點假設

  1.連通性(Connectivity),又稱可比性
  即事件A和B發生的似然性likelihood是可以比較的:
  A>L B或A L B或B>L A 必有一種也僅有一種成立.
  ** A>L B讀作 A 發生的似然性大於B 發生的似然性,
  A L B 讀作 A 發生的似然性與B 發生的似然性相當。
  2.傳遞性(Transitivity)
  若對事件A,B,C , A >L B, B >L C 則A >L C
  3. 部分小於全體:若A?B則BL A
  例:設定明年國民經濟增長率時:
  ①A:8~11% B:12~15% C:15~20%
  若 A >L B, B >L C , 則 A >L C
  ② A:8~11% D:8~10% 必有D >L A
二、離散型隨機變數先驗分佈的設定

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  1.對各事件加以比較確定相對似然率
  例1. 考博士生 E:考取 E:考不取
  若P(E)=2P(E) 則P(E)=2/3 P(E)=1/3
  例2。某地氣候狀況:正常年景θ1,旱θ2,澇θ3
  正常與災年之比:3∶2 則P(θ1)=0.6
  水旱災之比1∶1 P(θ2)=P(θ3)=0.2
  該法適用於狀態數較少的場合
  2.打賭法
  設 事件E發生時收入P,(0

<1) 且 E\c=(1—P)


  調整P,使決策人感到兩者無差異為止, 則:P(E)=P
三、連續型RV的先驗分佈的設定

  1.直方圖法
  ·該法適用於θ取值是實軸的的某個區間的情況
  ·步驟:①,將區間劃分子區間θi…離散化
  ②設定每個子區間的似然率π(θi)…賦值
  ③變換成概率密度曲線
  例如:明年國民經濟的增長率
  ·缺點:①子區間的劃分沒有標準
  ②賦值不易
  ③尾部誤差過大
  2.相對似然率法
  ·適用範圍:同1
  步驟:①離散化
  ②賦值:給出各區間似然的相對比值
  ③規範化:
  例如:同1
  A. 相對似然率R 似然率π(A)
  子區間8~9% 10 10/ΣR
  7~8 9 9/ΣR
  9~10 7.5 7.5/ΣR
  B. 決策者給出每二個狀態似然率的比例關係
  aij= pi/pj (1)
  應有
  aij= 1/aji (2)
  aij=aik.akj (3)
  在(3)式不滿足時,可用最小二乘法估計決策人心目中真正的主觀概率分佈Pi i=1,…,n
  即求規劃問題
  min{∑∑(aijpj - pi)}
  s.t. ∑pi= 1 , pi≥0
  *用拉格朗日乘數法,構造拉格朗日函數
  L=
  上式對 ,i=1,2…n求偏導數,並令其為0,得:
  l=1,2,…,n.
  與 聯列,構成n+1階齊次方程組,求得Pi, i=1,…,n
  3.區間對分法
  ·適用範圍:可以是開區間
  ·步驟:①求中位
  ②確定上、下四分位點(Quartile fractile)
  ③由於誤差積累,最多確定八分位點(Eighth fractile)
  例:產品銷售量(預計明年)
  ·缺點:精度差
  4.與給定形式的分佈函數相匹配
  這是最常用,且常常被濫用的方法
  ·步驟:①選擇一個與先驗信息匹配得最好的函數
  如正態,泊松,β,e-Cauchy分佈等
  例:a)在單位時間以恆常的平均比率入出現,則在T單位長度時間內該事件出現的次數服從Poisson分佈
  2-4
  b)若影響某一隨機變數的因素很多而每一因素的作用均不顯著,則該變數服從正態分佈。例如,測量誤差,彈落點,人的生理特徵的度量,農作物產量等均服從正態分佈。
  c)事件A出現的概率為P,n次獨立試驗出現r次A的概率b(p,r,n)= . 即服從二項分佈。
  ②參數估計:
  A.矩法:N(μ,σ) Be(α,β)
  ·缺點:尾部估計不準,但對矩的影響卻很大
  B.分位數:利用幾個分位點和現成的概率密度
  函數分位數表,估計參數並檢驗。
  5. 概率盤法(dart)
  用園盤中的扇形區表示抽獎事件, 透用於西方管理人員
  ·注意:狀態的概率或概率分佈不是也不應富由決策分析人員來設定,而應當由決策人和有關問題專家提供基本信息。
  理由:
主觀概率 -無信息先驗分佈

一、為什麼要研究無信息先驗

  ·Bayesean法需要有先驗分佈,貝葉斯法的簡明性使人在無信息時也想用它。
二、如何設定無信息先驗分佈

  1.位置參數
  隨機變數X的概率密度函數形如f(x-θ)時θ∈ 稱為位置參數
  其無信息先驗 π(θ)必為一常數
  2.標度參數
  X的密度函數為1/σf(x/σ)σ>稱為標度密度σ稱為標度參數
  其無信息先驗π(σ)=1/σ
主觀概率 -利用過去的數據設定先驗分佈

一、有θ的統計數據

  為能獲得θ的觀察值θi i=1,…,n的數據,則可:
  ①通過直方圖勾劃出先驗分佈
  ②選取可能的函數形式作為先驗分佈,再定參數
  ③求頻率(離散RV)
二、狀態θ不能直接觀察時

  若直接觀察的只是與 有關的 (通常都是如此)則要從 中獲取 的先驗信息很困難: 的分佈是隨邊緣分佈m(.)而定的:
  m(x)= 或m(x)=
  X、Θ的聯合密度是h(x,θ)=f(x|θ)μ(θ)
  由 估計m(x)不難,但即使f(x|θ)已知,由此估計μ(θ

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