丟番圖逼近

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更新時間: 2013-09-12

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在數論中,丟番圖逼近探討以實數逼近有理數的課題,逼近的程度通常以該有理數的分母衡量。

丟番圖逼近 -丟番圖逼近

 

丟番圖逼近 -正文
  數論的一個分支,以研究數的有理逼近問題為主。這裡所謂的數是指實數、複數、代數數或超越數。數的有理逼近問題,可表為求某種不等式的整數解問題。由於在整數範圍求解的方程稱為不定方程或丟番圖方程,因而把求不等式的整數解問題稱之為丟番圖逼近。
  1842年,P.G.L.狄利克雷首先證明了實數有理逼近的一個結果:如果α是任意實數,Q是大於1的實數,那麼存在整數對pq,滿足兩個不等式:1≤qQ和|αq-p|≤Q-1。由此可得,如果α是任意無理數,那麼存在無窮多對互素的整數對pq,滿足不等式|α-p/q|<q-2。當α是有理數時,上式不成立

  1891年,A.胡爾維茨將上式改進為丟番圖逼近並指出,對於某些無理數,常數丟番圖逼近是最佳值,不可再減小。但是對於很多無理數,常數丟番圖逼近不是最佳值,還可再減小。1926年,A.Я.辛欽證明了:在勒貝格測度意義下對幾乎所有的實數α,不等式|α-p/q|<ψ(q)/q的整數解pq有無窮多對還是只有有窮多對,由級數丟番圖逼近是發散的還是收斂的而定,這裡ψ(q)(q>0)是正的非增函數。此即所謂丟番圖逼近測度定理。例如,對幾乎所有的實數α和任意的δ>0,不等式|α-p/q|<q丟番圖逼近只有有窮多對整數解,而不等式|α-p/q|<q-2(lnq)-1有無窮多對整數解。
  丟番圖逼近與連分數有密切聯繫。一個數的連分數展開,往往就是具體構造有理逼近解的過程。例如,對於任意無理數α,有無窮多個漸近分數pn/qn,滿足不等式丟番圖逼近
  1844年,J.劉維爾開創了實代數數的有理逼近的研究,他證明了:如果α是次數為d的實代數數,那麼存在一個常數C(α)>0,對於每個不等於α的有理數p/q,有|α-p/q|>C(α)/qd。亦即如果μ>d,那麼不等式|α-p/q|<q-μ只有有窮多個解p/q。根據這一結果,劉維爾構造出了歷史上的第一個超越數丟番圖逼近。以後一些數學家不斷改進指數μ的值,直到得出μd無關的結果。1909年,A.圖埃得到μ>1+d/2。1921年,C.L.西格爾得到丟番圖逼近。1947年至1948年間,F.戴森和A.O.蓋爾豐德各自獨立證明了丟番圖逼近。1955年,K.F.羅特得到了μd無關的一個結論:如果α是實代數數,其次數d≥2,那麼對於任意的δ>0,不等式丟番圖逼近只有有窮多個解。這一結論又稱為圖埃-西格爾-羅特定理。
  對於一組數的有理逼近問題,稱之為聯立丟番圖逼近。狄利克雷關於聯立逼近有如下論斷:如果α1,…,αnn個實數,Q>1是整數,那麼存在一組整數q,p1,…,pn滿足不等式組
  丟番圖逼近進而,如果α1,…,αn中至少有一個無理數,那麼存在無窮多組解(p1/q,…,pn/q),適合不等式組

丟番圖逼近

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  關於實代數數的聯立有理逼近,直到1970年才由W.M.施密特徹底解決。他證明了:如果α1,…,αn是實代數數,並且1,α1,…,αn在有理數域上線性無關,那麼對任意的δ>0,只有有限多個正整數q使得丟番圖逼近成立。式中記號‖x‖表示x與最近整數的距離。這一結果的一個等價表達方式:對於上述的實數α1,…,αn及任意的δ>0,只有有限多組非零整數q1,…,qn適合

丟番圖逼近

由此可知,聯立不等式

丟番圖逼近

只有有限多組解(p1/q,…,pn/q),以及不等式
丟番圖逼近只有有限多組整數解p,q1,…,qn
  用代數數逼近代數數,也是丟番圖逼近的一類重要內容。W.M.施密特所著《丟番圖逼近》(1980)一書中,有詳細的論述。
  自20世紀以來,丟番圖逼近除自身的發展外,在超越數論、丟番圖方程等方面都有重要的應用。
  參考書目
 J. W. S.Cassels,An Introduction to Diophantine ApproxiMation, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1957.

 

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