一元四次方程

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更新時間: 2013-07-31

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1計算方法

2求根公式

方程為 x^4+b·x^3+c·x^2+d·x+e=0
如果設
P=bd-4e-c/3
Q=bcd/27+﹙104/27﹚·ce-(2/27)·c-be-d
D=-4·P-27·Q
u=√(-13.5·Q+3/2·√(-3D))
v=√(-13.5·Q-3/2·√(-3D))
y=(u+v-3)/3
N=﹙1/4﹚b+﹙1/4﹚·b-c+y-(2y+4)·√﹛﹙1/4﹚·y-e﹜-b·√﹛﹙1/4﹚·y-c+y﹜
M=﹙1/4﹚b+﹙1/4﹚·b-c+y-(2y-4)·√﹛﹙1/4﹚·y-e﹜+b·√﹛﹙1/4﹚·y-c+y﹜
X1=﹙1/2﹚·√﹙﹙1/4﹚·b-c+y﹚-﹙1/4﹚·b+﹙1/2﹚·√N
X2=﹙1/2﹚·√﹙﹙1/4﹚·b-c+y﹚+﹙1/4﹚·b+﹙1/2﹚·√N
X3=-﹙1/2﹚·√﹙﹙1/4﹚·b-c+y﹚-﹙1/4﹚·b+﹙1/2﹚·√M
X4=-﹙1/2﹚·√﹙﹙1/4﹚·b-c+y﹚+﹙1/4﹚·b+﹙1/2﹚·√M
對照一元三次的公式,會發現它們有相似之處。
整合求根公式:
公式太過複雜,但可用於編程,省去中間變數。
一元四次方程的四個根(root)

  一元四次方程的四個根(root)

3應用舉例

如方程 x^4-1=0
其中
b=0
c=0
d=0
e=-1
則 P=4
Q=0
D=-256
u=6
v=-6
y=0
N=4
M=-4
X1=1
X2=-1
X3=i
X4=-i
這就是方程 x^4-1=0的四個根,其中有兩個實根,兩個虛根。

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