《線性代數》

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更新時間: 2013-09-05

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《線性代數》線性代數課程在高等理工科院校本科生教學計劃中是一門必修的基礎理論課,它主要討論有限維線性空間上的線性理論。具有較強的抽象性與邏輯性。

《線性代數》《線性代數》
具有較強的抽象性與邏輯性。通過本課程的學習,要使學生掌握科學研究中常用的矩陣方法、線性方程組、二次型等理論及有關基本知識,並具有熟練的矩陣運算能力和用矩陣方法解決實際問題的能力,從而為學習後繼課程及進一步擴大數學知識面奠定必要的數學基礎,同時使學生抽象思維能力受到一定的訓練。通過此課程的學習,在掌握數學基礎的同時,提高抽象思維能力,並牢固掌握在科學研究及工程實踐中對離散量的基本分析方法。從而不斷提高創新意識,全面加強運用數學方法分析問題和解決問題的實踐能力。線性代數是一門重要的數學基礎課,也是全國統一命題的碩士研究生入學考試必考的內容之一。
《線性代數》 -歷史
《線性代數》笛卡兒
由於費馬和笛卡兒的工作,線性代數基本上出現於十七世紀。直到十八世紀末,線性代數的領域還只限於平面與空間。十九世紀上半葉才完成了到n維向量空間的過渡矩陣論始於凱萊,在十九世紀下半葉,因若當的工作而達到了它的頂點.1888年,皮亞諾以公理的方式定義了有限維或無限維向量空間。托普利茨將線性代數的主要定理推廣到任意體上的最一般的向量空間中.線性映射的概念在大多數情況下能夠擺脫矩陣計算而引導到固有的推理,即是說不依賴於基的選擇。不用交換體而用未必交換之體或環作為運算元之定義域,這就引向模的概念,這一概念很顯著地推廣了向量空間的理論和重新整理了十九世紀所研究過的情況。
  「代數」這一個詞在中國出現較晚,在清代時才傳入中國,當時被人們譯成「阿爾熱巴拉」,直到1859年,清代著名的數學家、翻譯家李善蘭才將它翻譯成為「代數學」,一直沿用至今。
《線性代數》 -知識體系
《線性代數》《線性代數》
線性代數課程內容涉及線性代數的五大知識體系,它們是:

掌握行列式的定義、性質與行列式按行(列)展開定理,二、三、四階行列式以及簡單的n階行列式的計算方法,掌握Cramer法則,齊次線性方程組有非零解的充分必要條件與線性方程組有解的充分必要條件。

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掌握矩陣的概念、加法、數乘、乘法和轉置等運算及其性質,分塊矩陣及其運算,矩陣的初等變換與初等矩陣,矩陣可逆的充分必要條件及逆矩陣的求法,矩陣的秩及其求法,矩陣等價的標準形。

矩陣的初等變換與線性方程組,掌握矩陣的初等變換,初等矩陣的相關定理,矩陣的秩的概念及計算,線性方程組有無解的充分必要條件。

線性方程組,掌握有序n元數組(n維向量)的概念,n維向量的加法、數乘等運算及其性質,掌握n維向量組的線性相關性及其判別法則,n維向量組的最大線性無關組,n維向量組的秩及其求法,有序n元數組的向量空間及其子空間,齊次線性方程組的基礎解系與通解,非齊次線性方程組的解的結構與通解。

矩陣的特徵值與特徵向量,掌握矩陣特徵值與特徵向量的概念及求法,相似矩陣的概念與性質,矩陣的可對角化條件,正交矩陣的概念與性質,線性無關向量組標準正交化的Schimidt方法,實對稱矩陣正交相似於對角陣的求法。

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《線性代數》 -大綱內容
《線性代數》內容簡介
第一章行列式:二階與三階行列式、n階行列式的定義、行列式的性質、行列式按行(列)展開克萊姆法則。

提示:行列式是一種常用的數學工具,在數學及其它學科中有著廣泛的應用。本章重點在於了解行列式的性質及解線性方程組的克萊姆法則,掌握行列式的常用計算方法。

第二章矩陣及運算:矩陣的概念、單位矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣以及它們的性質、矩陣的線性運算、矩陣的乘法、方陣的冪、方陣乘積的行列式、矩陣的轉置、逆矩陣的概念與性質、矩陣可逆的充分必要條件、伴隨陣、分塊矩陣及其運算。

提示:矩陣是線性代數的主要研究對象。它在線性代數與數學的許多分支中都有重要應用,許多實際問題可用矩陣表示並用有關理論得到解決。本章重點在於掌握矩陣的運算規律及求逆矩陣的方法,了解矩陣常用的分塊方法。

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第三章矩陣的初等變換與線性方程組:矩陣的初等變換、矩陣等價、矩陣的秩、齊次線性方程組有非零解的充分必要條件、非齊次線性方程組有解的充分必要條件、用初等變換解線性方程組初等矩陣。

提示:矩陣的初等變換是矩陣的一種重要運算。本章重點掌握用矩陣的初等行變換求矩陣的秩、求逆矩陣、解線性方程組的方法,了解初等矩陣的作用。

第四章向量組的線性相關性:向量的概念、向量的線性組合和線性表示、向量組的線性相關與線性無關、向量組的極大線性無關組與向量組的秩等價向量組、向量組的秩與矩陣的秩之間的關係、向量空間簡介、線性方程組解的性質和解的結構、齊次線性方程組的基礎解系和通解、解空間非齊次線性方程組的通解、用初等行變換求解線性方程組的方法。

提示:向量組的線性相關與線性無關是線性代數的重要內容,在此基礎上可討論線性方程組的通解問題。本章重點掌握向量組的線性相關與線性無關的定義及有關的性質,掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法,理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念。

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第五章相似矩陣及二次型:向量的內積、線性無關向量組的正交規範化方法、規範正交基正交矩陣及其性質、正交變換方陣的特徵值和特徵向量的概念、性質和求法相似變換、相似矩陣的概念及性質矩陣可對角化的充分必要條件及相似對角矩陣實對稱矩陣的特徵值、特徵向量及相似對角矩陣二次型及矩陣表示二次型的秩合同變換與合同、矩陣二次型的標準形用正交變換和配方法、化二次型為標準形慣性定理、二次型和對應矩陣的正定性及判別方法。

提示:方陣的特徵值與特徵向量在工程技術中經常用到。本章重點掌握特徵值與特徵向量的概念、性質及求法,掌握方陣對角化的方法,會用正交變換把二次型化為標準形,掌握判別二次型及矩陣正定性的方法。

第六章線性空間與線性變換:了解線性空間,子空間的概念並會判別、了解線性空間的維數,基及坐標的概念,熟悉幾個常用線性空間的維數基、掌握兩個基之間過渡矩陣的求法,並會使用坐標變換公式、理解線性變換概念並會判別、會求在一個基下線性變換的矩陣。

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提示:線性空間的概念及性質,子空間、線性空間的基、維數與向量的坐標、基變換和坐標變換公式、變換及線性變換的概念、線性變換的矩陣表達式。

《線性代數》 -目錄
《線性代數》《線性代數》
第一章行列式
主要內容
1.基本概念
2.基本理論與方法
(1)行列式的性質
(2)克拉默(Gramer)法則
疑難解析
方法、技巧與典型例題分析
1.選擇題
2.逆序數的計算
3.行列式的計算方法與技巧
(1)行列式計算的一題多解
(2)有關范德蒙(Vandermonde)行列式的計算
(3)與代數餘子式有關的計算
(4)有關行列式計算的綜合例題
4.克拉默法則的應用
第二章矩陣及其運算
主要內容
1.基本概念
2.基本理論與方法
(1)矩陣的運算及性質
(2)可逆矩陣與正交矩陣
(3)分塊矩陣
疑難解析
方法、技巧與典型例題分析
1.選擇題
2.矩陣的運算
(1)矩陣的運算及性質
(2)方陣的行列式
(3)矩陣的應用
3.逆矩陣的計算方法與技巧
(1)逆矩陣的計算
(2)用逆矩陣解矩陣方程
(3)抽象矩陣的逆矩陣
(4)有關正交矩陣的逆矩陣
(5)分塊矩陣的逆矩陣
第三章線性代數方程組
主要內容
1.基本概念
(1)矩陣的秩
(2)向量組的線性相關性
(3)線性代數方程組
(4)向量空間
2.基本理論與方法
(1)矩陣秩的性質與求法
(2)向量組的線性相關性
(3)線性代數方程組
(4)向量空間
疑難解析
方法、技巧與典型例題分析
1.選擇題
(1)矩陣的秩的性質
(2)向量組的線性表示與線性相關性
(3)線性代數方程組的解與基礎解系
2.矩陣的秩
3.向量組的線性相關性
(1)線性表示與線性組合
(2)線性相關性的判斷
(3)向量組與矩陣的秩
4.線性代數方程組
(1)含參數的線性代數方程組的解法
(2)線性代數方程組的基礎解系
(3)有關線性代數方程組理論的綜合題
(4)線性代數方程組的應用
5.向量空間
(1)向量空間的檢驗方法
(2)向量空間的基、維數、坐標的求法
(3)向量的內積與正交化方法
第四章矩陣的特徵值、二次型
《線性代數》《線性代數》英文版
主要內容
1.基本概念
(1)矩陣的特徵值
(2)矩陣的對角化
(3)二次型
(4)正定矩陣
2.基本理論與方法
(1)矩陣的特徵值
(2)矩陣的對角化
(3)化二次型為標準形的方法
(4)正定矩陣
疑難解析
方法、技巧與典型例題分析
1.選擇題
2.矩陣的特徵值
(1)特徵值與特徵向量的求法
(2)已知矩陣自6特徵值,計算(或證明)與矩陣有關的問題
(3)哈密爾頓-凱萊(Hamilton-Cayley)定理的應用
3.矩陣的對角化
(1)相似矩陣的判別方法
(2)方陣A與對角矩陣相似的判別方法
(3)可對角化矩陣的應用
4.二次型
(1)二次型的矩陣表示及其秩
(2)化二次型為標準形
5.正定矩陣
(1)正定矩陣、正定二次型的判定
(2)有關正定矩陣性質的問題
第五章線性變換
主要內容
1.基本概念
(1)線性變換
(2)過渡矩陣
2.基本理論與方法
(1)線性變換的性質
(2)線性變換的運算
(3)線性變換在一組基下矩陣的求法
疑難解析
方法、技巧與典型例題分析
1.線性變換及其運算
(1)線性變換的檢驗
(2)有關線性變換性質的問題
2.線性變換與矩陣
(1)過渡矩陣的求法
(2)線性變換在一組基下的矩陣的求法
(3)線性變換的和、乘積及逆在某組基下矩陣的求法
《線性代數》 -學習方法
《線性代數》《線性代數》輔導書
《線性代數》是一門研究線性問題的數學基礎課,線性代數實質上是提供了自己獨特的語言和方法,將那些涉及多變數的問題組織起來並進行分析研究,是將中學一元代數推廣為處理大的數組的一門代數。

線性代數有兩類基本數學構件。一類是對象:數組;一類是這些對象進行的運算。在此基礎之上可以對一系列涉及數組的數學模型進行探討和研究,從而解決實際問題。既然線性代數有自己獨特的內容,就要用適當的學習方法面對。這裡有五點建議:

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一、線性代數如果注意以下幾點是有益的。由易而難線性代數常常涉及大型數組,故先將容易的問題搞明白,再解決有難度的問題,例如行列式定義,首先將3階行列式定義理解好,自然可以推廣到n階行列式情形;由低而高運用技巧,省時不少,無論是行列式還是矩陣,在低階狀態,找出適合的計算方法,則可自如推廣運用到高階情形;由簡而繁一些運演算法則,先試用於簡單情形,進而應用於複雜問題,例如,克萊姆法則,線性方程組解存在性判別,對角化問題等等;由淺而深線性代數中一些新概念如秩,特徵值特徵向量,應當先理解好它們的定義,在理解基礎之上,才能深刻理解它們與其他概念的聯繫、它們的作用,一步步達到運用自如境地。

二、注重對基本概念的理解與把握,正確熟練運用基本方法及基本運算。

1、線性代數的概念很多,重要的有:代數餘子式,伴隨矩陣,逆矩陣,初等變換與初等矩陣,正交變換與正交矩陣,秩(矩陣、向量組、二次型),等價(矩陣、向量組),線性組合與線性表出,線性相關與線性無關,極大線性無關組,基礎解系與通解,解的結構與解空間,特徵值與特徵向量,相似與相似對角化,二次型的標準形與規範形,正定,合同變換與合同矩陣。

2、線性代數中運演算法則多,應整理清楚不要混淆,基本運算與基本方法要過關,重要的有:行列式(數字型、字母型)的計算,求逆矩陣,求矩陣的秩,求方陣的冪,求向量組的秩與極大線性無關組,線性相關的判定或求參數,求基礎解系,求非齊次線性方程組的通解,求特徵值與特徵向量(定義法,特徵多項式基礎解系法),判斷與求相似對角矩陣,用正交變換化實對稱矩陣為對角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標準形)。

三、注重知識點的銜接與轉換,知識要成網,努力提高綜合分析能力。線性代數從內容上看縱橫交錯,前後聯繫緊密,環環相扣,相互滲透,因此解題方法靈活多變,學習時應當常問做得對不對?再問做得好不好?只有不斷地歸納總結,努力搞清內在聯繫,使所學知識融會貫通,介面與切入點多了,熟悉了,思路自然就開闊了。

四、注重邏輯性與敘述表述

線性代數對於抽象性與邏輯性有較高的要求,通過證明題可以了解數學主要原理、定理的理解與掌握程度,考查抽象思維能力、邏輯推理能力。學習整理時,應當搞清公式、定理成立的條件,不能張冠李戴,同時還應注意語言的敘述表達應準確、簡明。

總之,數學題目千變萬化,有各種延伸或變式,要在學習過程中一定要認真仔細地預習和複習,華而不實靠押題碰運氣是行不通的,必須要重視三基,多思多議,不斷地總結經驗與教訓,做到融會貫通。

《線性代數》 -相關詞條

大學作業矩陣
數組行列式科學


 

《線性代數》 -參考資料

1、http://jpkc.hfut.edu.cn/2006/xxds/2.htm
2、http://www.golden-book.com/booksinfo/32/329514.html
3、http://jsj.pzhu.cn/JIAOWUPD/ShowArticle.asp?ArticleID=173

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