《哥德巴赫猜想》

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更新時間: 2013-09-04

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《哥德巴赫猜想》,徐遲著,由人民文學出版社出版的關於哥德巴赫猜想的書籍。

《哥德巴赫猜想》《哥德巴赫猜想》
作者:徐遲 

出版社:人民文學出版社
 
類別:文學

出版時間:2005-06-00 

印刷時間:2005-06-00 

上書時間:2007-04-09

《哥德巴赫猜想》 -詳細描述
《哥德巴赫猜想》 - 

  哥德巴赫猜想是世界近代三大數學難題之一。1742年,由德國中學教師哥德巴赫在教學中首先發現的。 

  1742年6月7日哥德巴赫寫信給當時的大數學家歐拉,正式提出了以下的猜想:a.任何一個大於 6的偶數都可以表示成兩個素數之和。b.任何一個大於9的奇數都可以表示成三個素數之和。

  這就是哥德巴赫猜想。歐拉在回信中說,他相信這個猜想是正確的,但他不能證明。

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  從此,這道數學難題引起了幾乎所有數學家的注意。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的「明珠」。

  中國數學家陳景潤於1966年證明:任何充份大的偶數都是一個質數與一個自然數之和,而後者可表示為兩個質數的乘積。」通常這個結果表示為 1+2。這是目前這個問題的最佳結果。

《哥德巴赫猜想》 -兩個猜想

1.每個不小於6的偶數都是兩個奇素數之和;

2.每個不小於9的奇數都是三個奇素數之和。

《哥德巴赫猜想》《哥德巴赫猜想》

哥德巴赫是德國一位中學教師,也是一位著名的數學家,生於1690年,1725年當選為俄國彼得堡科學院院士。1742年,哥德巴赫在教學中發現,每個不小於6的偶數都是兩個素數(只能被和它本身整除的數)之和。如6=3+3,12=5+7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫寫信給當時的大數學家歐拉,歐拉在6月30日給他的回信中說,他相信這個猜想是正確的,但他不能證明。敘述如此簡單的問題,連歐拉這樣首屈一指的數學家都不能證明,這個猜想便引起了許多數學家的注意。從哥德巴赫提出這個猜想至今,許多數學家都不斷努力想攻克它,但都沒有成功。當然曾經有人作了些具體的驗證工作,例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等。有人對33×108以內且大過6之偶數一一進行驗算,哥德巴赫猜想(a)都成立。但嚴格的數學證明尚待數學家的努力。

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從此,這道著名的數學難題引起了世界上成千上萬數學家的注意。200年過去了,沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的"明珠"。 人們對哥德巴赫猜想難題的熱情,歷經兩百多年而不衰。世界上許許多多的數學工作者,殫精竭慮,費盡心機,然而至今仍不得其解。

到了20世紀20年代,才有人開始向它靠近。1920年挪威數學家布朗用一種古老的篩選法證明,得出了一個結論:每一個比大的偶數都可以表示為(99)。這種縮小包圍圈的辦法很管用,科學家們於是從(9十9)開始,逐步減少每個數里所含質數因子的個數,直到最後使每個數里都是一個質數為止,這樣就證明了哥德巴赫猜想。

目前最佳的結果是中國數學家陳景潤於1966年證明的,稱為陳氏定理:「任何充分大的偶數都是一個質數與一個自然數之和,而後者僅僅是兩個質數的乘積。」通常都簡稱這個結果為大偶數可表示為 「1 + 2」的形式。

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                                                          哥德巴赫猜想之猜想

     摘要:本文運用一般數理法則,結合集合的定義,歸納出偶數分解過程中存在的一個固有規律。直接以命題方式推出,方法簡明扼要,易普及,還能廣泛被人們接受。 
    關鍵詞:偶數、分解、素數、定理。

   定義:任一≥6的偶數h,若在[h/2,h]的閉區間上存在多個素數gi,就有可能存在與<h/2的素數gj相互對應,使得h=g1+g2成立。
   證明:設定gi<h是一連續的素數數列:
    gi=g0,g1,…,gk-1,gk,gk+1,…,gn-1,gn;註:g0是接近h的素數,gk≥h/2是臨界點(gk-1>h/2;gk+1<h/2), gn-1=5,gn=3;式中:i,k,n∈N。
    這個偶數h分別與數列中素數之差a0,a1,…,ak-1,ak,ak+1,…,an-1,an組成一個集合In={a0,a1,…,ak-1,ak,ak+1,…,an-1,an}。在集合In的諸位元素中,gk是臨界素數。若ak=h/2,必有ak=gk,使得:h=gk+gk;ak≠gk時,從ak+1到an的所有元素中,若存在m個素數元素,則集合In從a0至ak的諸元素中,必有m個素數元素與之對應,從而使得h=gk-j+gk+i(j=0,1,2,…。)成立。就是在集合In中,存在n個≥h/2的素數元素gk-j,h就一定有n組兩素數之和存在。
   推理:這是偶數分解過程中,客觀存在的一個基本規律,勿庸置疑。下面舉例表明這一構想成立。
   例1選擇h=30;gi=29,23,19,17,13,11,7,5,3。
                                         1=30-29; 7=30-23; 11=30-19;13=30-17;
                                         17=29-13;19=30-11;23=30-7; 25=30-5;27=30-3。
    將h=30與素數數列中每一素數之差,組成一個集合: I0={1,7,11,13,17,19,23,25,27,}
    從h=30與素數數列中每一素數之差可以看出,當偶數h與一素數gk-j之差為另一素數gk+i時,同樣這個偶數h還存在另一組與gk+i之差等於gk-j。再將它們之間的差,從小至大依次排列並集合在一起。有兩不相等的兩素數之和的分解式,其差就有兩次機會進入這個集合I0中,而只有一素數與一奇數或相等的兩個素數之和的分解式,其差只有一次機會進入這個集合I0中。所以只要判定這個集合I0中有n個元素≥h/2的素數,則這個偶數h就一定有n組兩素數之和存在,從而使得以上推理成立。
    在集合I0中,有3個≥15的素數17,19,23,分別與<15的素數13,11,7與之對應,使得:17+13=30,19+11=30,23+7=30成立。
   例2選擇h=34;gi=31,29,23,19,17,13,11,7,5,3。
                                        3=34-31; 5=34-29; 11=34-23;15=34-19;17=34-17;
                                        21=34-13;23=34-11; 27=34-7;29=34-5; 3=34-31。
    將h=34與素數數列中每一素數之差,組成一個集合: I1={3,5,11,15,17,21,23,27,29,31}
在集合I1中,有一素數元素ak=gk=17,它與該集合中任一元素之和,均不等於34,只存在34=2×17或34=17+17。這一現象的主要原因是,在34的諸多分解式中,只有唯一一組分解式17=34-17,所以在集合I1中只有唯一一元素ak=gk=17存在。顯然例2是以上定義推理的補充實例。同樣集合I1有4個≥17的素數元素,偶數h=34就有4組不同的兩素數之和(17+17,23+11,29+5,31+3)存在。
   結論:由以上定義、證明、推論三個環節可總結一個定理
   定理1 任一≥6的偶數h, 若在閉區間[h/2,h]上,存在若干素數gj,將這些素數gj與它小的所有素數g組成一個素數數列gi。這個偶數h,與素數數列gi中的每一素數之差ai,再組成一個集合:In={a0,a1,…,ak,…an-1,an}。若集合In中有n個≥h/2的素數元素,該偶數h就一定有n組兩素數之和存在」。
   定理2 若一偶數h在[h/2, h]的閉區間上無素數g存在;或在這個閉區間上的若干個素數中,均不能與<h/2的素數一一對應,且ak≠h/2時,則該偶數h與素數數列gi中的每一素數之差,組成的集合In={a0,a1,…,ak,…an-1,an}中,不可能有素數元素存在。所以在這兩種條件下,這個偶數h就一定不能分解成兩素數之和。 

 
參考文獻
             W•希爾,G•洛夫著,周煥山譯 應用數學基礎 1974.3 130031 208

           註:式中gi=g0,g1,…,gk-1,gk,gk+1,…,gn-1,gn;的0,1,…,k-1,k,k+1,…,n-1,n.均為g的角標。其它類同,若不看成角標,將無法理解。

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